MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 7. 5. 2001 Blatt 3

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

9) Für n, k ∈ ℕ beweise man durch vollständige Induktion

∑_{m=0}^{n} \binom{m + k}{m} = \binom{n + k + 1}{n}

10) Gibt es eine arithmetische Folge 3. Ordnung (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{0} = a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{5} = 0? Wenn ja, so bestimme man a_{3}, a_{4} und a_{6}.

11) Gegeben seien für festes n ∈ ℕ die folgenden Summen

A_{n} := ∑_{j=1}^{n} (∑_{i=1}^{n} a_{ij}), B_{n} := ∑_{j=1}^{n} (∑_{i=1}^{j} a_{ij}), C_{n} := ∑_{j=1}^{n} (∑_{i=j}^{n} a_{ij}).

Dabei seien die a_{ij} reelle Zahlen.

a) Man schreibe alle drei Summen für den Fall n = 3 aus.

b) Aus wievielen Summanden besteht die Summe C_{n} (d.h. man bestimme den Wert der Summe, falls a_{ij} = 1 für alle i, j ∈ {1, ..., n}).

c) Man berechne die Summe C_{n} für den Spezialfall a_{ij} = i·j für alle i, j ∈ {1, ..., n}.

12) Seien a_{1}, ..., a_{n} nichtnegative reelle Zahlen. Man beweise durch vollständige Induktion die Ungleichung

∏_{i=1}^{n} (1 + a_{i}) ≥ 1 + ∑_{i=1}^{n} a_{i}

S2) Zweite Sternaufgabe. Man beweise für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 die Gleichung

∑_{k=1}^{n}(−1)^{n−k}\binom{n}{k}k^{n} = n!

Abgabetermin: Donnerstag, 17. Mai 2001, 11:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).