MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 30. 4. 2001 Blatt 2

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

5) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto “6 aus 49” die sechs gezogenen Zahlen (a) alle gerade bzw. (b) alle ungerade sind?

6) Man zeige für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung ∑_{k=1}^{n} k^{3} = (∑_{k=1}^{n} k)^{2}.

7) Zwei Tripel (k_{1}, k_{2}, k_{3}), (k′_{1}, k′_{2}, k′_{3}) sind nach Definition genau dann gleich, wenn k_{i} = k′_{i} für i = 1, 2, 3.

Wieviele Tripel (k_{1}, k_{2}, k_{3}) natürlicher Zahlen gibt es, die zu gegebenem n ∈ ℕ folgende Gleichung erfüllen:

n = k_{1} + k_{2} + k_{3}

8) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine arithmetische Folge 2. Ordnung mit a_{0} = a_{1} = 1 und a_{2} = 0.

Man berechne a_{3}, a_{4}, a_{5} und bestimme eine Formel für a_{n} für allgemeines n ∈ ℕ.

S1) Erste Sternaufgabe

(Die Sternaufgaben sind nicht obligatorisch und werden für das Gesamt-Punktesoll nicht mitgezählt)

Die nebenstehende Figur entstand aus einem Pascalschen Dreieck der Ordnung 31, indem die ungeraden Binomial-Koeffizienten durch kleine schwarze Quadrate und die geraden Binomial-Koeffizienten durch weiße Quadrate dargestellt wurden.

Man beweise, dass alle Binomial-Koeffizienten \binom{2^{r}−1}{k}, (0 ≤ k ≤ 2^{r} − 1), ungerade sind und bestimme die Gesamtzahl aller ungeraden Binomial-Koeffizienten \binom{n}{k} mit 0 ≤ k ≤ n ≤ 2^{r} − 1 (als Funktion von r).

Abgabetermin: Donnerstag, 10. Mai 2001, 11:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).