MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 23. 4. 2001 Blatt 1

Übungen zu: Unendliche Folgen und Reihen

1) Man beweise durch vollständige Induktion nach N folgende Gleichung

∑_{n=1}^{2N} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k}

für N ∈ ℕ.

2) Man beweise durch vollständige Induktion nach n

∏_{k=0}^{n−1}(1 + x^{2^{k}}) = ∑_{m=0}^{2^{n}−1} x^{m}

für x ∈ ℝ, n ∈ ℕ.

3) Man finde durch Probieren jeweils eine Formel für die folgenden Produkte. Anschließend beweise man die Formeln durch vollständige Induktion nach n.

a) ∏_{k=1}^{n} (1 + \frac{1}{k}), n ∈ ℕ,

b) ∏_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{k^{2} − 1}, n ≥ 2.

4) Eine verallgemeinerte Potenz von x sei wie folgt definiert

x^{{0}} := 1, x^{{n}} := x · (x + 1) ⋯ (x + n − 1), n ∈ ℕ, n ≥ 1.

Man beweise durch vollständige Induktion nach n

(x + y)^{\{n\}} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{\{n−k\}} y^{\{k\}}

für x, y ∈ ℝ, n ∈ ℕ.

Abgabetermin: Donnerstag, 3. Mai 2001, 11:10 Uhr (Übungskasten vor der Bibliothek).