MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 9. 7. 2001 Blatt 3

Übungen zur Vorlesung Abelsche Varietäten

Aufgabe 9 Sei 𝔘 = (U_{i})_{i∈I} eine offene Überdeckung des topologischen Raumes X und 𝔙 eine Verfeinerung von 𝔘. Weiter sei F eine Garbe abelscher Gruppen auf X.

a) Man zeige, dass die natürliche Abbildung τ_{𝔙}^{𝔘} : H^{1}(𝔘, F) → H^{1}(𝔙, F) injektiv ist.

b) Gilt H^{1}(U_{i}, F) = 0 für alle i ∈ I, so ist τ_{𝔙}^{𝔘} sogar bijektiv.

Aufgabe 10

a) Sei X eine Mannigfaltigkeit (mit abzählbarer Topologie) und seien Y_{1}, Y_{2} offene Teilmengen von X mit folgenden Eigenschaften: (i) Y_{1} ∪ Y_{2} = X, (ii) Y_{1} ∩ Y_{2} ist einfach zusammenhängend, (iii) jedes (komplexe) Geradenbündel auf Y_{i} ist trivial (i = 1, 2). Man zeige, dass dann jedes Geradenbündel auf X trivial ist.

b) Man zeige, dass auf folgenden topologischen Räumen jedes ℂ-Geradenbündel trivial ist:

(i) S^{1} und S^{1} × I, wobei I ⊂ ℝ ein offenes Intervall ist, (ii) X := (S^{1} × S^{1}) ∖ {P_{0}} für einen Punkt P_{0} ∈ S^{1} × S^{1}.

Aufgabe 11 Sei Λ ∈ M(n × 2n, ℂ) eine Matrix, deren 2n Spalten reell linear unabhängige Vektoren des ℂ^{n} sind. Mit Λ werde gleichzeitig das von den Spalten aufgespannte Gitter im ℂ^{n} bezeichnet.

a) Man zeige, dass die 2n × 2n-Matrix \binom{Λ}{\overline{Λ}} invertierbar ist.

b) Seien A_{1}, A_{2} ∈ M(2n × n, ℂ) Matrizen mit (A_{1}, A_{2})\binom{Λ}{\overline{Λ}} = E_{2n}. Man zeige, dass sich jede C^{∞}-Funktion f auf dem Torus X := ℂ^{n}/Λ in eine Fourier-Reihe

f(z) = ∑_{m∈ℤ^{2n}} a_{m}(z)e^{2πi⟨m,(A_{1}z+A_{2}\overline{z})⟩}

mit Koeffizienten a_{m} ∈ C^{∞}(X) entwickeln lässt.

Aufgabe 12

a) Man zeige mittels Fourier-Entwicklung, dass jede \overline{∂}-geschlossene (0,1)-Form σ = ∑_{ν=1}^{n} a_{ν}d\overline{z}_{ν} auf dem Torus X = ℂ^{n}/Λ \overline{∂}-cohomolog zu einer (0,1)-Form mit konstanten Koeffizienten ist.

b) Sei ω = ∑_{ν,μ=1}^{n} a_{νμ}dz_{ν} ∧ d\overline{z}_{μ} eine d-geschlossenene (1,1)-Form auf dem Torus X mit ∫_{X} a_{νμ}dVol_{X} = 0 für alle ν, μ. Man zeige: Es gibt eine Funktion f ∈ C^{∞}(X) mit

ω = ∂\overline{∂}f.

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