MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 14. 5. 2001 Blatt 2

Übungen zur Vorlesung Abelsche Varietäten

Aufgabe 5 Sei Z die wie folgt definierte Teilmenge von ℙ_{n}(ℂ) × ℂ^{n+1}:

Z := {((z_{0} : …: z_{n}), v) ∈ ℙ_{n}(ℂ) × ℂ^{n+1} : v ∈ ℂ · (z_{0}, …, z_{n})}.

a) Man zeige, dass Z eine (n + 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℙ_{n}(ℂ) × ℂ^{n+1} ist. Vermöge der durch die Projektion auf den ersten Faktor induzierten Abbildung π : Z → ℙ_{n}(ℂ) wird Z zu einem Geradenbündel über ℙ_{n}(ℂ).

b) Das so konstruierte Geradenbündel ist isomorph zu O_{ℙ_{n}}(−1).

Aufgabe 6 Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und a ∈ X ein vorgegebener Punkt. Man zeige: Es gibt eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit Y und eine eigentliche holomorphe Abbildung σ : Y → X, so dass A := σ^{−1}({a}) eine zu ℙ_{n−1}(ℂ) isomorphe (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Y ist, und die Einschränkung

σ : Y ∖ A ⟶ X ∖ {a}

eine biholomorphe Abbildung ist. (Die Konstruktion von Y aus X heißt Hopf’scher Sigma-Prozess)

Aufgabe 7 Sei π : V → X ein holomorphes Vektorraumbündel vom Rang r über der n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit X und sei f : Y → X eine holomorphe Abbildung einer mdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit Y in X. Sei

W := {(y, v) ∈ Y × V : f(y) = π(v)}.

Man zeige, dass W eine (m + r)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Y × V ist, die vermöge der durch die Projektion Y × V → Y induzierten Abbildung ϖ : W → Y zu einen Vektorraumbündel vom Rang r über Y wird. Man schreibt W =: f^{∗}V und nennt f^{∗}V das Pullback von V mittels f.

Aufgabe 8 Sei f : ℙ_{1}(ℂ) → ℙ_{2}(ℂ) definiert durch f(x_{0} : x_{1}) := (x_{0}^{2} : x_{0}x_{1} : x_{1}^{2}). Man zeige, dass das Bild f(ℙ_{1}) eine glatte Quadrik in ℙ_{2} ist und das Pullback f^{∗}O_{ℙ_{2}}(1) isomorph zu O_{ℙ_{1}}(2) ist.

Blatt 2 Ende