MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. O. Forster

SS 2001 30. 4. 2001 Blatt 1

Übungen zur Vorlesung Abelsche Varietäten

Aufgabe 1 Sei G ⊂ ℂ^{n} das (nicht-leere) Konvergenzgebiet einer Potenzreihe f(z) = ∑_{k∈ℕ^{n}} c_{k}z^{k}, d.h. das Innere der Menge aller Punkte z ∈ ℂ^{n}, für die die Reihe konvergiert. Unter dem logarithmischen Bild ℓ(G) ⊂ ℝ^{n} versteht man die Menge

ℓ(G) := {(log |z_{1}|, …, log |z_{n}|) : (z_{1}, …, z_{n}) ∈ G ∩ (ℂ^{∗})^{n}}.

Man beweise, dass ℓ(G) konvex ist.

Aufgabe 2 Seien N_{1} und N_{2} zwei Normen auf dem komplexen Vektorraum ℂ^{n}, z.B.

N_{1}(z) = max{|z_{1}|, …, |z_{n}|}, N_{2}(z) = (|z_{1}|^{2} + … + |z_{n}|^{2})^{1/2}.

und G_{k} := {z ∈ ℂ^{n} : N_{k}(z) < 1}.

a) Man beweise, dass jede biholomorphe Abbildung Φ : G_{1} → G_{2} mit Φ(0) = 0 linear ist.

b) Man folgere daraus, dass es für n > 1 keine biholomorphe Abbildung des n-dimensionalen Polyzylinders auf die Einheitskugel im ℂ^{n} gibt (Satz von Poincaré).

Aufgabe 3 Sei B := {z ∈ ℂ^{n} : ∥z∥ ≤ 1} die Einheitskugel im ℂ^{n}, wobei ∥ . ∥ die gewöhnliche Euklidische Norm sei (gleich Beispiel N_{2} aus der vorherigen Aufgabe). Sei SU(1, n) die Menge aller Matrizen

A = (a_{νμ})_{0≤ν,μ≤n} ∈ SL(n + 1, ℂ) mit A^{∗}J_{1,n}A = J_{1,n}, J_{1,n} := diag(1, −1, …, −1).

(Dabei ist A^{∗} die hermitesch konjugierte Matrix zu A). Man zeige: Zu jeder biholomorphen Abbildung Φ : B → B gibt es eine Matrix

A = (a_{νμ})_{0≤ν,μ≤n} ∈ SU(1, n),

so dass Φ(z) = w mit

w_{ν} = \frac{a_{ν0} + a_{ν1}z_{1} + … + a_{νn}z_{n}}{a_{00} + a_{01}z_{1} + … + a_{0n}z_{n}} für ν = 1, …, n.

Umgekehrt liefert jede Matrix A ∈ SU(1, n) eine biholomorhe Abbildung B → B. Die Automorphismengruppe von B ist also isomorph zu PSU(1, n).

Aufgabe 4 Man bestimme die Automorphismengruppe des Polyzylinders

P := {(z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} : |z_{ν}| < 1 für ν = 1, …, n}.

Blatt 1 Ende