MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) 1.Klausur

9. Dezember 1998

1. Man beweise mit Hilfe vollständiger Induktion, daß

∑_{k=1}^{n} k(k + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}

für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt.

2. Man zeige

2^{n} < n!

für alle natürlichen Zahlen n ≥ 4.

3. Man berechne den Limes der durch

a_{n} = \frac{(3n + 1)(2 + \frac{1}{n})}{n + \frac{2}{n}}

definierten Folge (a_{n})_{n≥1}.

4. Man bestimme des Wert des unendlichen periodischen Dezimalbruchs x = 0.122222 ….

5. (a) Man zeige: Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt

1 < \begin{matrix}√ & \overline{n + 1} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} < 1 + \frac{1}{n}.

(b) Man bestimme

lim_{n→∞} \begin{matrix}√ & \overline{n + 1} \\ √ & \overline{n} \end{matrix}.

6. Man beweise, daß für jedes x ∈ IR mit |x| < 1 die Reihe

∑_{n=0}^{∞} x^{n^{2}}

konvergiert; ihre Summe braucht dabei nicht berechnet zu werden.

(je 4 Punkte)

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Viel Erfolg!