MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 11

45. Man skizziere den Graphen von

h : ]0, +∞[ → IR, x ↦ \frac{log x}{x},

bestimme die lokalen und globalen Extrema von h und untersuche h auf Monotonie sowie auf Konvexität bzw. Konkavität.

46. Man zeige:

(a) Zu jedem x > e gibt es genau ein y > 0 mit y ≠ x und x^{y} = y^{x}; für dieses y gilt 1 < y < e.

(b) Sind m, n ∈ IN mit 1 ≤ m < n und m^{n} = n^{m}, so ist m = 2 und n = 4.

47. Für a < b sei f : [a, b] → IR eine stetige Funktion, die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Man zeige: Hat f′ keine Nullstelle, so hat f′ konstantes Vorzeichen.

Hinweis: Injektive stetige Funktionen auf Intervallen sind streng monoton.

48. Man skizziere den Graphen der Funktion

g : IR → IR, x ↦ \{ \begin{matrix}0 & falls x ≤ 0 \\ e^{−1/x} & falls x > 0 \end{matrix}

und zeige, daß für alle k ≥ 0 folgendes gilt:

(i) g ist k-mal differenzierbar mit g^{(k)}(0) = 0.

(ii) Es gibt ein Polynom P_{k} mit g^{(k)}(x) = P_{k}(1/x) · g(x) für alle x ≠ 0.

(je 4)

Abgabe: Mittwoch, 10. Februar 1999, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek