MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 10

41. Man bestimme Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl (1 + i)^{1999}.

42. Man zeige

(a) das Additionstheorem des Tangens tan(x + y) = \frac{tan x + tan y}{1 − tan x tan y}

für alle x, y ∈ IR, für die tan x, tan y und tan(x + y) definiert sind,

(b) die Funktionalgleichung des Arcustangens arctan x + arctan y = arctan \frac{x + y}{1 − xy}

für alle x, y ∈ IR mit | arctan x + arctan y| < π/2.

43. Man zeige, daß die Funktion

g : ]0, +∞[→ IR, x ↦ x^{1/x} differenzierbar ist, berechne ihre Ableitung und den Grenzwert lim_{x→∞} g(x).

44. Man untersuche die Funktionen

f_{n} : [−1, 1] → IR, x ↦ \{ \begin{matrix}x^{n} · sin(1/x) & falls x ≠ 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix} (n ∈ ZZ)

auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

(je 4)

Abgabe: Mittwoch, 3. Februar 1999, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek