MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 9

37. Es sei f : IR → IR eine stetige Funktion mit f(x) → 0 für x → ±∞. Man zeige, daß f gleichmäßig stetig und beschränkt ist.

38. Es sei f : IR → IR eine stetige Funktion mit f(x) → +∞ für x → ±∞. Man zeige, daß f ein globales Minimum besitzt, d.h. daß es ein x_{0} ∈ IR gibt mit f(x_{0}) ≤ f(x) für alle x ∈ IR.

39. Ist ∅ ≠ D ⊂ IR und f : D → IR eine Funktion, so heißt x ∈ D ein Fixpunkt von f, wenn f(x) = x gilt. Man beweise, daß jede stetige und monoton fallende Funktion f : IR → IR genau einen Fixpunkt hat. Gilt dies auch für monoton steigendes stetiges f?

40. (a) Man bestimme den Real- und Imaginärteil aller komplexen Lösungen der Gleichung z^{2} = i.

(b) Gegeben sei das komplexe Polynom P (z) = 4z^{2} + 4z − i + 1. Man bestimme z_{1}, z_{2} ∈ C mit P (z) = 4(z − z_{1})(z − z_{2}) für alle z ∈ C.

(c) Man bestimme alle komplexen Zahlen z = x + iy, die der Ungleichung |z − 1| ≤ |z + 1| genügen, und skizziere diese Punktmenge.

(je 4)

Abgabe: Mittwoch, 27. Januar 1999, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek