MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 8

33. Man betrachte die Funktion zack : IR → IR, x ↦ 2 · |x − ⌊x⌋ − \frac{1}{2} | − \frac{1}{2}.

(a) Man skizziere den Graphen von zack.

(b) Man zeige, daß zack stetig ist.

(c) Man zeige, daß zack periodisch von Periode 1 ist.

34. Es sei D ⊂ IR, und L ≥ 0 eine reelle Zahl. Eine Funktion f : D → IR heißt Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L, wenn für alle x, y ∈ D

|f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|

gilt.

(a) Man zeige, daß jede Lipschitz-stetige Funktion gleichmäßig stetig ist.

(b) Man zeige, daß die Funktion zack von Aufgabe 33 Lipschitz-stetig ist.

(c) * Man gebe ein Beispiel einer auf einem kompakten Intervall stetigen (also gleichmäßig stetigen) Funktion f : [a, b] → IR, die nicht Lipschitzstetig ist. (2*)

35. Es seien a < b reelle Zahlen, und g : ]a, b[ → IR eine stetige Funktion. Man zeige, daß g genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die beiden Grenzwerte

lim_{x↘a} g(x), lim_{x↗b} g(x)

existieren.

36. Es sei a > 0 eine reelle Zahl. Man zeige: Die Funktion IR → IR, x ↦ a^{x} ist für a > 1 streng monoton wachsend und für a < 1 streng monoton fallend. In beiden Fällen wird IR bijektiv auf IR_{+}^{∗} abgebildet. Die Umkehrfunktion a log : IR_{+}^{∗} → IR (Logarithmus zur Basis a) ist stetig, und für alle x > 0 gilt

a log x = \frac{log x}{log a}.

(je 4)

Abgabe: Mittwoch, 20. Januar 1999, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek Die zweite Klausur findet am Freitag, den 19. Februar 1999 von 11 bis 13 Uhr im Hörsaal 122 statt.