MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 7

25. Es seien

a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} ,  b_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{(−1)^{n}}{n}  (n ≥ 1).

Man untersuche die Reihen ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und ∑_{n=1}^{∞} b_{n} auf Konvergenz.

26. Für

c_{n} = (−1)^{n} (1 + \frac{(−1)^{n−1}}{n} ) (n ≥ 1)

bestimme man lim inf_{n→∞} c_{n} und lim sup_{n→∞} c_{n}.

27. Es seien (x_{n})_{n≥0} und (y_{n})_{n≥0} Folgen reeller Zahlen. Man zeige

sup_{n≥0} x_{n} + inf_{n≥0} y_{n} ≤ sup_{n≥0}(x_{n} + y_{n}) ≤ sup_{n≥0} x_{n} + sup_{n≥0} y_{n}.

28. Man zeige:

(a) Für alle n ≥ 0 gilt: Die Menge aller Teilmengen der Menge {1, …, n} hat 2^{n} Elemente.

(b) Die Menge aller endlichen Teilmengen von IN ist abzählbar.

29. Die Menge aller Teilmengen von IN ist überabzählbar.

30. Man beweise folgende Verschärfung des Quotienten-Kriteriums von Raabe: Ist (a_{n})_{n≥0} eine Folge reeller Zahlen ≠ 0 derart, daß es eine Konstante c > 1 gibt mit

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ 1 − \frac{c}{n} (n ≥ 1),

so konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}.

Man zeige, daß die Aussage für c = 1 nicht mehr gilt.

31. Man zeige, daß die Reihe ∑′ \frac{1}{n} konvergent ist, wobei ∑′ für die Summation über alle natürlichen Zahlen ≥ 1 stehe, in deren Dezimaldarstellung die Ziffer 1 nicht vorkommt.

32. Es sei q ∈ IR mit |q| < 1. Man zeige

(∗)  ∏_{m=1}^{∞}(1 − q^{m}) = 1 + ∑_{ℓ=1}^{∞}(−1)^{ℓ} (q^{\frac{1}{2} (3ℓ^{2}+ℓ)} + q^{\frac{l}{2} (3ℓ^{2}−ℓ)})

einschließlich der Konvergenz beider Seiten wie folgt:

(a) Die Zahlen c(k, n), k ∈ IN, n ∈ ZZ, seien rekursiv wie folgt definiert:

c(0, n) = δ_{0n},  (n ∈ ZZ),
c(k, n) = c(k − 1, n) − c(k − 1, n − k),  (k ≥ 1, n ∈ ZZ).

Damit gilt

∏_{m=1}^{k}(1 − q^{m}) = ∑_{n=0}^{∞} c(k, n)q^{n} (k ≥ 0).

(b) Für alle n ≥ 1 gilt: c(k, n) konvergiert für k → ∞ gegen eine reelle Zahl a(n) mit

a(n) = \{ \begin{matrix}(−1)^{ℓ} & falls n = \frac{1}{2}(3ℓ^{2} ± ℓ) für ein ℓ ≥ 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(c) Beide Seiten der Gleichung (∗) sind konvergent.

(je 4)

Sie haben die Wahl: Sie können sich auf die Standardaufgaben 25–28 beschränken, oder sich für die anspruchsvolleren Aufgaben 29–32 entscheiden. Die maximal erreichbare Punktzahl für Blatt 7 ist 20.

Abgabe: Mittwoch, 13. Januar 1999, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek

Frohe Weihnachten und ein gutes Neues Jahr!