MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 5

17. Man untersuche das Konvergenzverhalten der Folge

(\frac{1}{n^{3}} ∑_{k=1}^{n} k^{2})_{n≥1}

und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert.

18. Es seien x, y > 0 reelle Zahlen. Man zeige für deren durch

a = \frac{1}{2} (x + y) , g = \sqrt{x · y} bzw. \frac{1}{h} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} )

definierte arithmetische, geometrische bzw. harmonische Mittel:

(a) Ist x ≤ y, so gilt

(∗) x ≤ h ≤ g ≤ a ≤ y.

(b) Gleichheit gilt nur dann irgendwo in (∗), wenn x = y ist.

19. Man beweise, daß die durch

a_{0} = 0 und a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} (n ≥ 0)

rekursiv definierte Folge konvergiert, und bestimme ihren Grenzwert.

20. (Ägyptische Stammbruch-Darstellung) Man zeige: Zu jeder reellen Zahl x mit 0 < x < 1 gibt es eine endliche oder unendliche Folge natürlicher Zahlen

1 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < …

derart, daß

x = ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{n_{k}} für ein m ≥ 1 bzw. x = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{n_{k}}

gilt.

(je 4)

Abgabe: Mittwoch, 9. Dezember 1998, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek

Die erste Klausur findet am Mittwoch, den 9. Dezember 1998 von 14 Uhr s.t. bis 16 Uhr im Hörsaal 122 statt. Dabei werden keinerlei Hilfsmittel zugelassen. Schreib- und Konzeptpapier wird gestellt, lediglich Schreibgerät ist mitzubringen.