MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 4

13. Man untersuche die durch

a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}} und b_{n} = \frac{n!}{n^{n}}

definierten Folgen (a_{n})_{n≥0} und (b_{n})_{n≥1} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Limes. (je 2)

14. Man zeige, daß die unendliche Reihe

∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}

konvergiert, und berechne ihre Summe. (4)

15. Man berechne das unendliche Produkt

∏_{n=2}^{∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1},

d.h. den Limes der durch

p_{k} = ∏_{n=2}^{k} \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1}

definierten Folge (p_{k})_{k≥2}. (4)

16. Es seien a, c und x reelle Zahlen mit 0 < x < 1, sowie

s_{n} = a + c ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}x^{k}

für alle n ≥ 0. Man finde reelle Zahlen λ und μ derart, daß

s_{n+2} = λs_{n+1} + μs_{n}

ist für alle n ≥ 0. Hinweis. Man untersuche zunächst den Spezialfall a = 0, c = 1. (4)

Abgabe: Mittwoch, 2. Dezember 1998, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek Sprechstunde von Dr. P. Schuster ab sofort immer Montag, 11–12 Uhr. Die erste Klausur findet am Mittwoch, den 9. Dezember 1998 von 14 Uhr s.t. bis 16 Uhr im Hörsaal 122 statt. Dabei werden keinerlei Hilfsmittel zugelassen.