MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 3

9. Man entscheide, welche der folgenden Aussagen über reelle Zahlen x, a, b allgemeingültig oder im allgemeinen falsch sind, wobei man jeweils einen Beweis führe bzw. ein Gegenbeispiel angebe.

(a) |x − a| < b ⟹ x > a − 2b (1)

(b) ab > 1 und a < 1 ⟹ b > 1 (1)

(c) ab > 1 ⟺ a > 1 und b > 1 (2)

10. Man zeige die Verallgemeinerung

∏_{i=1}^{n}(1 + a_{i}) ≥ 1 + ∑_{i=1}^{n} a_{i}

der Bernoullischen Ungleichung für reelle Zahlen a_{1}, …, a_{n} mit

(a) a_{i} ≥ 0 für alle i, (4)

(b) −1 ≤ a_{i} ≤ 0 für alle i. (4*)

11. Für x, y ∈ IR bezeichne max(x, y) die größere bzw. min(x, y) die kleinere der beiden Zahlen. Man zeige

max(x, y) = \frac{1}{2}(x + y + |y − x|) und min(x, y) = \frac{1}{2}(x + y − |y − x|)

für alle x, y ∈ IR. (4)

12. Es seien a und b reelle Zahlen. Man zeige, daß die durch

a_{0} = a, a_{1} = b, a_{n} = \frac{2a_{n−1} + a_{n−2}}{3} (n ≥ 2)

rekursiv definierte Folge (a_{n})_{n∈IN} konvergiert, und bestimme ihren Grenzwert. (4)

Abgabe: Mittwoch, 25. November 1998, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek

Sprechstunde des Korrektors Klaus Seidl: Mittwoch, 11–12 Uhr, Diskussionsraum der Bibliothek