MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 1998/99

Prof. Dr. O. Forster Dr. P. Schuster

Übungen zur Analysis I (MIA) Blatt 2

5. Man zeige

∏_{k=0}^{n−1} (1 + x^{2^{k}}) = ∑_{m=0}^{2^{n}−1} x^{m}

für alle reellen Zahlen x und alle natürlichen Zahlen n. (4 Punkte)

6. (a) Man zeige

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

für alle n ∈ IN. (4)

(b) Man bestimme

∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1}k^{2}

für alle n ∈ IN. (4*)

7. Für n ∈ IN und a_{ik} ∈ IR für 1 ≤ i, k ≤ n setze man

A_{n} = ∑_{i=1}^{n} (∑_{k=1}^{i} a_{ik}) .

(a) Man schreibe die Doppelsumme A_{n} in den Fällen n = 1, 2, 3, 4 aus. (1)

(b) Man bestimme für beliebiges n die Anzahl der Summanden von A_{n}, d.h. man berechne A_{n} für den Fall, daß a_{ik} = 1 ist für alle i, k. (3)

8. (Fortsetzung von Aufgabe 7) Man berechne A_{n} in den Fällen (a) a_{ik} = k für alle i, k ∈ {1, …, n},

(b) a_{ik} = i für alle i, k ∈ {1, …, n},

(c) a_{ik} = i + k für alle i, k ∈ {1, …, n} und

(d) a_{ik} = i · k für alle i, k ∈ {1, …, n},

jeweils für beliebiges n. (je 1)

Bitte wenden!

Mit einem Stern (*) markierte Punkte werden nicht zum Gesamtsoll gerechnet. Abgabe: Mittwoch, 18. November 1998, 9 Uhr, Übungskasten vor der Bibliothek Aufgabenblätter und korrigierte Lösungen findet man vor Zimmer 402. Die Klausuren finden voraussichtlich am 9. Dezember und am 19. Februar statt. Elektronische Adressen:

forster@rz.mathematik.uni-muenchen.de
pschust@rz.mathematik.uni-muenchen.de
lang@rz.mathematik.uni-muenchen.de
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼forster