<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
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\def\IntBrx{\Mint_{B_r(x)}}


\begin{document}

\title[]{Anwendungen partieller Differentialgleichungen}
\author[]{Dr. Dominic Breit}
\date{27.01.2012}

\setbeamercolor{normal text}{bg=yellow!1}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame} 

\begin{frame}
\frametitle{Outline}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Partielle Differentialgleichungen}

%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\begin{frame}
	\frametitle{Gleichungen}
Sei $\Omega\subset\R^d$ und $H:\Omega\times \R\times\R^d\times...\times \R^{d^k}\rightarrow\R$.
\begin{block}{Finde $u:\Omega\rightarrow\R$ mit}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
H(x,u,\nabla u,...,\nabla^k u)=0\quad\text{auf $\Omega$}
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
Zusammen mit Randbedingungen.
\begin{itemize}
\item Lineare Gleichung:
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rc}
\Delta u=&amp;f\,\qquad \mbox{auf $\Omega$,}\\
u=&amp;u_0\,\qquad\mbox{ \,auf $\partial\Omega$,}\end{array}\right.
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\begin{frame}
	\frametitle{Systeme}
Sei $\Omega\subset\R^d$ und $H:\Omega\times \R\times\R^{dD}\times...\times \R^{(dD)^k}\rightarrow\R^D$.
\begin{block}{Finde $u:\Omega\rightarrow\R^D$ mit}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
H_m(x,u,\nabla u,...,\nabla^k u)=0\quad\text{auf $\Omega$},\quad m=1,...D.
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
Zusammen mit Randbedingungen.
\begin{itemize}
\item Nichtineares System:
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rc}
\Div\left\{|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right\}=&amp;f\,\qquad \mbox{auf $\Omega$,}\\
u\qquad=&amp;u_0\,\qquad\mbox{ \,auf $\partial\Omega$,}\end{array}\right.
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\section{Physik}

\begin{frame}
	\frametitle{Fluidmechanik (1)}
Finde ein Geschwindigkeitsfeld $v:Q\rightarrow\R^d$ und eine Druckfuntion $\pi:Q\rightarrow\R$ als L\"osung des
\begin{block}{Systems partieller Differentialgleichungen}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rc}
-\partial_t v+\Div \sigma=(\nabla v)v+\nabla \pi-f&amp; \mbox{auf $Q$,}\\
\Div v=0\qquad\qquad\,\,\,\,&amp; \mbox{auf $Q$,}\\
v=0\qquad\,\,\,\,\quad\quad&amp; \mbox{ \,auf $\partial\Omega$,}\\
v(0,\cdot)=v_0\,\qquad\qquad&amp;\mbox{ \,auf $\Omega$.}\end{array}\right.
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
\begin{itemize}
\item $Q:=\Omega\times(0,T)$ mit $\Omega\subset\R^d$, $d\in\left\{2,3\right\}$ und $T&gt;0$;
\item $f:Q\rightarrow\R^d$ ist eine \"au\ss ere Beschleunigung;
\item $\sigma:Q\rightarrow \mathbb{R}^{d\times d}$ ist der Cauchy Stress Tensor.
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\begin{frame}
	\frametitle{Fluidmechanik (2)}
Um ein spezielles Fluid zu bschreiben, ben\"otigt man ein konstitutives Gesetz, das $\sigma$ und den symmetrischen Gradient
$$\ep(v):=\frac{1}{2}\left(\nabla v+\nabla v^T\right)$$
in Relation setzt.
\begin{itemize}
\item Newtonsches Fluid: $\sigma=\nu \ep(v)$ (Wasser, Luft und \"Ol);
\item Verallgemeinertes Newtonsches Fluid: $\sigma=|\varepsilon(v)|^{p-2}\varepsilon(v)$;
\item Die Viskosit\"at ist eine Funktion der Scherrate $|\varepsilon(v)|$;
\item $p&gt;2$ $\Rightarrow$ $\nu$ wachsend $\Rightarrow$ verdickend (Kuchenteig);
\item $p&lt;2$ $\Rightarrow$ $\nu$ fallend $\Rightarrow$ verd\"unnend (Blut, Ketschup).
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\begin{frame}
	\frametitle{Fluidmechanik (3)}
Unter vernachl\"assigung der zeitlichen \"Anderung und der Eigenrotation innerhalb der Fl\"ussigkeit erh\"alt man das
\begin{block}{$p$-Stokes Problem}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rc}
\Div \left\{|\ep(v)|^{p-2}\ep(v)\right\}=\nabla \pi-f&amp; \mbox{auf $\Omega$,}\\
\Div v=0\qquad\qquad\,\,\,\,&amp; \mbox{auf $\Omega$,}\\
v=0\qquad\,\,\,\,\quad\quad&amp; \mbox{ \,auf $\partial\Omega$.}\end{array}\right.
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
\"Aquivalent dazu ist die Minimerung von 
$$J[v]=\frac{1}{p}\int_\Omega|\ep(v)|^p\,dx-\int_\Omega f\cdot v\,dx\quad \text{u.d.N.}\quad \Div v=0.$$
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\begin{frame}
	\frametitle{Materialwissenschaften (1)}
Sei $\Omega\subset\R^3$ ein K\"orper, der durch Einwirkung der Kraft $f:\Omega\rightarrow \R^3$ deformiert wird. Sei $\overline{x}$ ist die aktuelle Position des Materialpunktes $x\in\Omega$ und $u(x)=\overline{x}-x$ die Verzerrung. Diese ergibt sich durch
\begin{block}{Minimierung von}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
J[u]:=\int_\Omega \left\{|\Div(u)|^2+\varphi(|\ep^D(u)|)\right\}\,dx-\int_\Omega f\cdot u\,dx
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
zu gegebenen Randdaten.
\begin{itemize}
\item $\Div(u)$ beschreibt die Volumen\"anderung von $\Omega$;
\item $\ep^D(u)=\ep(u)-\tfrac{1}{3}\Div(u) I$ eine Verdrehung des K\"orpers;
\item Mit $\varphi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ k\"onnen die Materialeigenschaften modelliert werden.
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\begin{frame}
	\frametitle{Materialwissenschaften (2)}
Die Minimierung von $J$ is \"aquivalent zur
\begin{block}{L\"osung von}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
\Div\sigma=f,\quad \sigma=\sigma(\ep(u))=2\Div(u)I+\frac{\varphi'(|\ep^D(u)|)}{|\ep^D(u)|}\ep^D(u),
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
bei gegebenen Randdaten.
\begin{itemize}
\item Linear Elastisches Material: $\varphi(|\ep^D|) =\lambda |\ep^D|^2$;
\item Elastisch-plastisches Material: $\varphi(|\ep^D|) =\lambda |\ep^D|^p$, $1&lt;p&lt;2$;
\item Plastisches Material: $\varphi(|\ep^D|) =\lambda |\ep^D|$.
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\section{Digitale Bildverarbeitung}
\begin{frame}
	\frametitle{Entrauschung von Bildern}
Wir betrachten ein gest\"ortes Schwarz-Wei\ss-Bild, dass durch eine Funktion $f:\R^2\supset\Omega\rightarrow\R$ beschrieben wird ($\Omega=[0,a]\times[0,b]$). Dabei gibt der Funktionswert $f(x)$ an wie dunkel der Grauton im Bildpunkt $x$ ist (je dunkler desto gr\"o\ss er der Wert). 
\begin{block}{Minimierung des Funktionals ($\alpha&gt;0$)}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
E_{f}[u]:=\int_{\Omega}\left\{(u-f)^2+\alpha|\nabla u|^2\right\}dx.
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
\begin{itemize}
\item $(f-u)^2$ steht f\"ur den Abstand zum urspr\"unglichen Bild;
\item $|\nabla u|$ ist ein Ma\ss\, f\"ur die Glattheit des entrauschten Bildes.
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\section{Geometrie}
\begin{frame}
	\frametitle{Minimalfl\"achen (1)}
Finde eine Funktion $u^{*}:\Omega\rightarrow\R$ ($\Omega\subset\R^2$) so dass
\begin{align*}
J[u]=\text{Fl\"ache des Graphen von $u$}:=\int_{\Omega}\sqrt{1+|\nabla u|^2}\,dx
\end{align*}
minimal wird. Dabei soll $u=\varphi$ auf $\partial\Omega$ gelten.
\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{MF.png}
	\label{fig:MF}
\end{figure}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\begin{frame}
	\frametitle{Minimalfl\"achen (2)}
\"Aquivalent zur Minimierung von $J$ ist die L\"osung der nichtlinearen
\begin{block}{Minimalfl\"achengleichung}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rc}
\Div\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}\right)=0\quad\text{auf $\Omega$},\\
u\qquad=\varphi \quad\text{auf $\partial\Omega$}.\end{array}\right.
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\section{Finanzmarktanalyse}
\begin{frame}
	\frametitle{Black-Scholes-Gleichung (1)}
Eine Option ist das Recht eine Aktie an einem ZUK\"UNFTIGEN Zeitpunkt ($t=T$) zu einem HEUTE ($t=0$) festgelegten Preis $E$ zu kaufen.  Gesucht ist der
\begin{block}{Gleichgewichts-Preis}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
 C(t)=C(t,S(t),r,\sigma)
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
f\"ur dieses Recht. 
\begin{itemize}
\item $S(t)$ ist der Preis der Aktie zum Zeitpunkt $t$;
\item $r$ ist der risikolose Zins;
\item $\sigma$ ist die Volatilit\"at der Aktie (Risiko).
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\begin{frame}
	\frametitle{Black-Scholes-Gleichung (2)}
\begin{block}{$C$ ist L\"sung von}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}+r S\frac{\partial C}{\partial S}-rC&amp;=0\quad\text{auf}\quad [0,\infty)\times [0,T]
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
zu den Randbedingungen
\begin{align*}
C(S,T)&amp;=\max\left\{S-E,0\right\},\quad
 C(0,t)=0,\\
C(S,t)&amp;\approx S\,\text{f\"ur}\quad S\rightarrow\infty.
\end{align*}
\vspace*{-3.5ex}
\begin{itemize}
\item Analytische Berechnung der L\"osung;
\item Nobelpreis f\"ur Wirtschaftswissenschaften 1997;
\item Annahme: Aktienpreis $(S_t)_{t\geq0}$ folgt Brownscher Bewegung;
\item Mandelbrot (1960): Aktienkurse sind NICHT normalverteilt.
\end{itemize}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\begin{frame}
	\frametitle{OHLC-Werte zu Preisprozessen (1)}
Sei $(P_t)_{t\geq0}$ ein zeitstetiger stochastischer Prozess (z.B. ein Aktienkurs). In vielen Anwendungen ben\"otigt man
\begin{block}{OHLC-Werte (Open-High-Low-Close)}
\invisible{blindtext}
\vspace*{-1.5ex}
\begin{align*}
&amp;\left(P_{\frac{i-1}{N}},(P^*)_{\frac{i-1}{N}},(P^*)_{\frac{i-1}{N}},P_{\frac{i}{N}}\right),\quad i=,1,...,N,\\
&amp;(P^*)_{t}=\sup_{s\geq t}P_s,\quad (P_*)_{t}=\inf_{s\geq t}P_s .
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
Daher ist man an der Verteilung des Vektors 
\vspace*{-0.5ex}
\begin{gather*}
\left(W_{t},(W^*)_{t},(W^*)_{t}\right),\quad t\geq0,
\end{gather*}
\vspace*{-0.5ex}
interessiert. Hierbei ist $(W_t)_{t\geq0}$ eine Brownsche Bewegung.
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\begin{frame}
	\frametitle{OHLC-Werte zu Preisprozessen (2)}
Die Dichte zu $\left(W_{t},(W^*)_{t},(W^*)_{t}\right)$ ergibt sich durch L\"osung der
\begin{block}{parabolischen Differentialgleichung}
\invisible{blindtext}
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rc}
\frac{\partial u}{\partial t}(t,z)=\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}(t,z)&amp; \mbox{auf $[0,\infty)\times [m,M]$,}\\
u(t,z)=0\qquad&amp; \mbox{falls $z\in\left\{m,M\right\}$,}\\
u(0,z)=\delta(z)\qquad\quad&amp; \mbox{ \,auf $[m,M]$.}\end{array}\right.
\end{align*}
\vspace*{-0.5ex}
\end{block}
Die Dichte $f_t(z,m,M)$ berechnet sich mit Hilfe von
\begin{align*}
&amp;u(t,z,m,M)=P(m&lt;(W_{*})_t,(W^{*})_t&lt;M, W_t\in dz)\\
&amp;=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty \left(e^{-(z+2k(M-m))^2/2t}-e^{-(z-2m+2k(M-m))^2/2t}\right).
\end{align*}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\iffalse
\begin{frame}
\begin{thebibliography}{[MMM]}
\bibitem[BrDF]{BrDF} D. Breit, L .Diening, M. Fuchs (2011): On the existence of weak solutions to the
equation of stationary motions of
Prandtl-Eyring fluids in 2D. (in preparation).
\bibitem[BNW]{BNW} M. Bildhauer, J. Naumann, J. Wolf (2011): On the existence of weak solutions to the equations of stationary motion of perfectly plastic fluids. (in preparation)
	%\bibitem[CFM]{CFM} S. Conti, D. Faraco, F. Maggi (2005): A New Approach to Counterexamples to L1 Estimates: Korn's Inequality, Geometric Rigidity, and Regularity for Gradients
	%\bibitem[DMS]{DMS} L. Diening, J. Mal\'{e}k, M. Steinhauer (2006): On Lipschitz Truncations of Sobolev Functions (with Variable Exponent) and Their Selected Applications. Control, Optimization and Calculus of Variations.
\bibitem[DRW]{DRW} L. Diening, M. Ruzicka, J. Wolf (2010): Existence of Weak Solutions for Unsteady Motions of Generalized Newtonian Fluids. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, IX, 1-46.
	\bibitem[FMS]{FMS} J. Frehse, J. Mal\'{e}k, M. Steinhauer (2003): On analysis of steady flows of fluids with shear-dependent viscosity based on the Lipschitz truncation method. SIAM J. Math. Anal. 34 (5), 1064-1083.
\end{thebibliography}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%

\begin{frame}
\begin{thebibliography}{[MMM]}
			\bibitem[FS]{FS} M. Fuchs, G. Seregin (1999): Variational methods for fluids of Prandtl-Eyring type and plastic materials with logarithmic hardening. Math. Meth. Appl. Sciences 22, 317-351.
\bibitem[Mi]{Mi} R. von Mises (1913): Mechanik der festen Kï¿½rper in plastisch-deformablem Zustand. Gï¿½ttinger Nachr., math.-phys. Klasse, Berlin, 582-592.
\end{thebibliography}
\end{frame}
%
%----------------------------------------------------------------------------------
%
\fi

\end{document}
</pre></body></html>