Diese Gebiete sind klassische Bestandteile der beiden großen Disziplinen Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis, und sie haben an deren rasanten Entwicklung während des 20. Jahrhunderts wichtigen Anteil. Dies auch deshalb, weil ihre Fragestellungen von Anwendungen her motiviert sind.
Die elliptischen Differentialgleichungen sind aus der klassischen Potentialtheorie hervorgegangen, die ihrerseits mit der mathematischen Erforschung der physikalischen Kraftfelder der Gravitation und der Elektrostatik entstanden ist. Ähnlich wie die Funktionentheorie in anderen Bereichen der Mathematik immer wieder Anwendungen hat, so fordert die Theorie der elliptischen Gleichungen nicht nur zu ihrem eigenen Aufbau heraus, sondern sie unterstützt auch die Behandlung der übrigen partiellen Differentialgleichungen.
Die symmetrisch hyperbolischen Systeme verallgemeinern die Wellengleichung und treten in der Gasdynamik, in der Magnetohydrodynamik und auch als Dirac-Gleichung der relativistischen Quantenmechanik auf.
Die Eigenwerttheorie von Differentialoperatoren ist unentbehrlich für die Lösung von Anfangs-Randwertproblemen und ist der Ursprung der Spektraltheorie abstrakter selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum, die ihrerseits zu den mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik gehört.
Seit längerem entsteht eine Monographie auf diesen Gebieten, die an deren ursprüngliche Motivationen anknüpft, aber neue Techniken und lückenlose Argumentationen bringt, was den Zugang zu aktuellen Forschungsthemen im Interesse der Studienzeitverkürzung beschleunigen soll.