Funktionalanalysis



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Funktionalanalysis

Innerhalb der Funktionalanalysis liegt mein Forschungsschwerpunkt auf dem Gebiet der Banachraumtheorie, wobei besonders die Untersuchung der vektorwertiger Lebesguetheorie im Vordergrund steht. Dieser Bereich gehört innerhalb der Mathematik der Grundlagenforschung an. Dort habe ich in den letzten Jahren Ergebnisse erzielt, die halfen, einige offene Fragen zu beantworten. Diese Resultate lagen zu einem großen Teil auf dem Gebiet der Strukturanalyse der Bochner-integrierbaren Funktionen, wie die zugehörigen Räume der vektorwertigen Integration genannt werden. Diese Analyse fand nicht zuletzt ihre Anwendung im Bereich der Lösungstheorie banachraumwertiger Differentialgleichungen sowie in der Beschreibung des asymtotischen Verhaltens von Lösungen linearer Transportgleichungen, wie sie z. B. in der Neutrontransporttheorie anzutreffen sind.

Zu einem wesentlichen Teil erstrecken sich meine Forschungsergebnisse auf die Betrachtung topologischer und geometrischer Eigenschaften der Bochner-integrierbaren Funktionen. Die Charakterisierung schwach kompakter bzw. bedingt schwach kompakter Mengen im Raum den meßbaren, beschränkten und X-wertigen Funktionen (X ein Banachraum), schloß eine seit zwei Jahrzehnten offene Lücke in dieser Theorie (vgl. [3],[4]). Die Strukturanalyse der Dualräume der Bochner-integrierbaren Funktionen die für die Räume von Forschern wie Gilles Pisier, Jean Bourgain, Narcisse Randrianantonina und Elias Saab behandelt wurde, ist von mir durch die Arbeit [5] vervollständigt worden.

Sogenannte starke Integrale sind grundlegend für die Halbgruppentheorie, die wiederum der geeignete Rahmen für die Beschreibung von Lösungen banachraumwertiger, linearer Differentialgleichungen ist. Mit Hilfe der Charakterisierung schwach kompakter und bedingt schwach kompakter Teilmengen in konnte ich Eigenschaften starker Integrale herleiten (siehe [6]), die zusammen mit [7] und der gemeinsamen Arbeiten mit Markus Kunze (Universität Köln) [2] das asymtotische Verhalten von Lösungen linear-gestörter Differentialgleichungen besser verstehen helfen. Damit wurden Ergebnisse von Lutz Weis und Jürgen Voigt auf einen größeren Anwendungsbereich erweitert. Die bereits erwähnte Arbeit mit Markus Kunze brachte neben den abstrakten Betrachtungen von Banachraumstrukturen eine der z.Z. allgemeinsten Bedingungen für die Existenz sogenannter schwacher Lösungen von banachraumwertigen Differentialgleichungen.

Schließlich möchte ich noch die gemeinsamen Arbeiten mit dem amerikanischen Mathematiker Robert F. Wheeler [8],[9] erwähnen, in denen eine Strukturanalyse der Banachräume mit Hilfe bestimmter lokalkonvexer Topologien vorgenommen wurde. In der noch andauernden Zusammenarbeit mit dem Polen Pawel Domanski und dem Finnen Mikael Lindström [1] untersuchen wir die Komposition von Operatoridealen.

Als Projekt für die nächste Zeit ist die Übertragung der oben genannten Ergebnisse auf die nichtkommutative Integration ins Auge gefaßt. Diese vektorwertige, nichtkommutative Theorie ist sehr jung, aber ihre Entwicklung verläuft recht stürmisch und scheint besonders im Hinblick auf ihre Anwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Physik vielversprechend zu sein. Einige meiner Diplomanden arbeiten auf diesem Gebiet und erzielten bereits neue Resultate.


Hauber
Wed Nov 20 16:14:16 MET 1996