Department Mathematik
print


Navigationspfad


Inhaltsbereich

Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Wintersemester 2018/19

Seminar (Hauptseminar): Lie-Algebren

Wintersemester 2018/19

Beschreibung

Themenliste

Literatur

1. Beschreibung

Gegenstand des Seminars sind

  • Strukturtheorie und
  • Darstellungstheorie
komplexer halbeinfacher Lie-Algebren.

Die Strukturtheorie liefert eine vollständige Klassifikation dieser Lie-Algebren. Jede dieser Lie-Algebren ist durch endlich viele diskrete Parameter in Form eines gerichteten, gewichteten Graphen charakterisiert (Dynkin-Diagramm).  Jede Darstellung einer komplexen halbeinfachen LieAlgebra zerfällt in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Jede irreduzible Darstellung ist durch ihr höchstes Gewicht bestimmt.

Einige Schlüsselbegriffe des Seminars: Cartan-Zerlegung, Wurzelsystem, Weyl-Gruppe, Cartan-Matrix, Dynkin-Diagramm, Fundamentale Gewichte.

Halbeinfache Lie Algebren treten in der Physik als infinitesimale Erzeuger wichtiger Symmetriegruppen wie SO(n), SU(n), Spin(n), Sp(n) auf. Die komplexen Darstellungen dieser Lie-Gruppen ergeben sich aus der Darstellungstheorie komplexer halbeinfacher Lie-Algebren.

Termin: Mittwoch, 10-12 Uhr.

2. Themenliste

Nr.

Vortragssthema

Termin (Mittwoch)

Literatur

ReferentIn

1

sl(2,C)-modules

17.10.2018

[Hum1972] §7

[Ser2001] Ch. IV.1-IV.5

[Weh2018] Ch. 5.2

Fr. Nkeng

2

Cartan decomposition of semisimple Lie Algebras

24.10.2018

[Hum1972] §8.1-8.3

[Weh2018] Ch. 5.1, 5.3

Fr. Steibel

3

Abstract root system and base

31.10.2018

[Ser2001] Ch. V.1-V.8

[Hum1972] §9

[Weh2018] Ch. 6.1

Hr. Semrau

4

Action of the Weyl group, Cartan matrix

7.11.2018

[Ser2001] Ch. V.10-V.11

[Weh2018] Ch. 6.2

Fr. Steibel

5

Coxeter graph and Dynkin diagram

14.11.2018

[Ser2001] Ch. V.12-V.15

[Weh2018] Ch. 6.3

Hr. Kress

6

Root system of a complex semisimple Lie algebra

21.11.2018

[Hum1972]

[Weh2018] Ch. 7.1

Hr. Gundlach

7

Dynkin diagram of A,B,C,D-series

28.11.2018

[Hal2015]

[Weh2018] Ch. 7.2

Hr. Gundlach

8

Calculating A,B,C,D-series by using a computer package (without proofs)

-

z.B. GAP-package

[Hal2015]

[Weh2018] Ch. 7.2

entfaellt

 

 

 

 

9

The universal enveloping algebra (without proof of PBW-theorem)

5.12.2018

[Hum1972] § 17.1-3

[Weh2018] Ch. 8.1

Hr. Gao

10

General weight theory

12.12.2018

[Ser2001] Ch. VII. 1-3

[Weh2018] Ch. 8.2

[Hum1972] § 20.1-3

Hr. Bruecklmeier

11

Finite dimensional irreducible representations

19.12.2018

[Ser2001] Chap VII. 4

[Weh2018] Ch. 8.3

Hr. Gao

 

 

 

 

12

Summary: Complex Semisimple Lie Algebras

16.1.2019

Hr. Wehler

 


Die Dauer eines Vortrags beträgt 75 Minuten; die Zeit darf nicht überschritten werden. The talk can be given in English or in German.

Bitte machen Sie mit mir einen Termin für eine Sprechstunde aus, die spätestens 14 Tage vor Ihrem Vortrag stattfindet. An diesem Termin sollten Sie mir mündlich Ihren Plan mit Zeitaufteilung vorstellen und einen Abschnitt probeweise vortragen. Bitte schicken Sie mir keine schriftlichen Ausarbeitungen.

Bei Fragen können Sie mir gern eine email schicken und eine weitere Sprechstunde in der vorlesungsfreien Zeit vereinbaren.

Wenn Sie sich für eines der freien Themen interessieren oder wenn Sie weitere Themenwünsche oder -vorschläge haben, bitte geben Sie mir Bescheid. Bitte nennen Sie mir dabei Ihr Studienfach mit Semesterzahl, den Umfang Ihrer Vorkenntnisse über Lie-Algebren und Ihren Themenwunsch.

3. Literatur

[Hum1972] Humphreys, James E.: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, New York (1972)

[Ser2001] Serre, Jean-Pierre: Complex Semisimple Lie Algebras. Reprint 1987 edition, Springer, Berlin (2001)

[Ser2006] Serre, Jean-Pierre: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University. 2nd edition, Springer, Berlin (2006)

[HN1991] Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann: Lie Gruppen und Lie Algebren. Braunschweig (1991)

[HN2012] Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann: Structure and Geometry of Lie Groups. New York (2012)

[Hal2015] Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer, Heidelberg 2nd edition (2015)

[Weh2018] Wehler, Joachim: Lie Algebras. Lecture Notes (Continuously updated)