Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Wintersemester 2017/18
Vorlesung (4+2): Elliptische Funktionen und Modulfunktionen -
Complex Analysis meets Number Theory
Wintersemester 2017/18
Beschreibung
Script
Literatur
Modulprüfung
1. Beschreibung
Die Theorie der elliptischen
Funktionen und Modulformen ist ein klassisches Gebiet der reinen Mathematik,
das spätestens seit dem Beweis der Fermatschen Vermutung im Fokus der aktuellen
Aufmerksamkeit steht. Das Gebiet verbindet Funktionentheorie, Algebraische
Geometrie und Zahlentheorie.
Die Vorlesung beginnt mit holomorphen
und meromorphen Funktionen auf Gebieten der komplexen Ebene. Ein klassisches
Objekt ist die p-Funktion von Weierstrass.
Eine erste Abstraktion behandelt
komplexe Tori als kompakte Riemannsche Fächen und den Körper ihrer meromorphen
Funktionen. Die Klassifikation der Isomorphieklassen komplexer Tori führt zum
Begriff der Modulgruppe und des Modulraumes komplexer Tori als einer Teilmenge
der oberen Halbebene.
Mit Hilfe der Weierstrass'schen
p-Funktion und ihrer Differentialgleichung läßt sich jeder Torus als
algebraische Kurve in den komplex-projektiven Raum P2 einbetten und
dort als elliptische Kurve mit den Mitteln der Algebraischen Geometrie studieren.
Die Modulgruppe
operiert auf der oberen Halbenene. Modulformen sind holomorphe Funktionen mit
einem bestimmten Transformationsverhalten bzgl. der Modulgruppe und einem
endlichen Wert im Punkt Unendlich. Die Modulkurven, d.h. die Kompaktifizierung
der Bahnenräume der Operation der Modulgruppe und ihrer Kongruenzuntergruppen,
sind kompakte Riemannsche Flächen. Damit stellen sich Modulformen als
Vektorräume geeigneter Differentialformen auf kompakten Riemannschen Flächen
heraus. Die Dimension dieser Vektorräume läßt sich mit dem Satz von
Riemann-Roch berechnen.
Die Vorlesung
stellt an verschiedenen Stellen einen Bezug zur Zahlentheorie her, etwa zur
Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper, zu Jacobis 4-Quadratesatz und zu
Ramanujans Vermutungen über die tau-Funktion.
In der
Vorlesung wird die Open-Source-Software PARI verwendet. Mit ihrer Hilfe lassen
sich viele Aussagen der Vorlesung nachvollziehen. Außerdem können die Hörer so
selbst zahlreiche nicht-triviale Beispiele rechnen, die bei manuellem Vorgehen
nur schwer zu behandeln wären.
The lecture can
be held in English if required.
Zielgruppe: Mathematikstudenten im Masterstudium,
9 ECTS. (Modul WP37, WP36, WP30)
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Vorkenntnisse: Funktionentheorie.
Hilfreich sind außerdem
Kenntnisse über kompakte Riemannsche Flächen etwa im Umfang des unten genannten
Buches von O. Forster (Garben, Satz von Riemann-Roch, Serre Dualität, Formel
von Riemann-Hurwitz), aus dem Gebiet der Algebraische Geometrie (Elliptische
Kurven) und der Algebraischen Zahlentheorie (Zahlkörper).Â
2. Script
Script3. Literatur (nach wachsendem Schwierigkeitsgrad)
Ahlfors, Lars: Complex Analysis. McGraw-Hill 1966
Serre, Jean-Pierre: A Course in Arithmetic. Springer 1973.
Insbesondere „Part II. Analytic Methods“.
Chenevier, Gaëtan: Introduction aux Formes Modulaires.
(Abruf Internet)
Forster, Otto: Riemannsche Flächen. Springer 1977
Diamond, Fred; Shurmann, Jerry. A First Course in Modular Forms.
Springer 2005
Pantchichkine, Alexeï: Formes Modulaire et Courbes
Elliptiques. https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~panchish/06ensl.pdf
Zagier, Don: https://www.youtube.com/watch?v=zKt5L0ggZ3o
Außerdem:
PARI, siehe https://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html
4. Modulprüfung
Die Modulprüfung zum Erreichen der ECTS-Punkte findet am Mittwoch, 28.2.2018, in Raum B 438 (Mathematisches Institut) statt. Die Püfung wird als mündliche Einzelprüfung durchgeführt, siehe Table 1. Dauer: 30-60 Minuten. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte bringen Sie Ihren Studentenausweis mit.
Prüfungsstoff ist der Inhalt der Vorlesung „Elliptische Funktionen und Modulformen“ und der zugehörigen Übungen.
Bitte melden Sie sich bis Dienstag, 6.2.2018, per email bei mir an. Bitte geben Sie dabei folgende Daten an: Name, Vorname, Matrikelnummer, Studienrichtung, Semesterzahl, anzurechnendes Modul (bei Masterstudium).