Elliptische Funktionen und Modulformen -
 
Complex Analysis meets Number Theory

 

4 std Vorlesung + 2 std Übung, WS 2017/18

 

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Übungsaufgaben

 

Die Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen ist ein klassisches Gebiet der reinen Mathematik, das spätestens seit dem Beweis der Fermatschen Vermutung im Fokus der aktuellen Aufmerksamkeit steht. Das Gebiet verbindet Funktionentheorie, Algebraische Geometrie und Zahlentheorie.

 

Die Vorlesung beginnt mit holomorphen und meromorphen Funktionen auf Gebieten der komplexen Ebene. Ein klassisches Objekt ist die p-Funktion von Weierstrass.

 

Eine erste Abstraktion behandelt komplexe Tori als kompakte Riemannsche Fächen und den Körper ihrer meromorphen Funktionen. Die Klassifikation der Isomorphieklassen komplexer Tori führt zum Begriff der Modulgruppe und des Modulraumes komplexer Tori als einer Teilmenge der oberen Halbebene.

 

Mit Hilfe der Weierstrass'schen p-Funktion und ihrer Differentialgleichung läßt sich jeder Torus als algebraische Kurve in den komplex-projektiven Raum P2 einbetten und dort als elliptische Kurve mit den Mitteln der Algebraischen Geometrie studieren.

Die Modulgruppe operiert auf der oberen Halbenene. Modulformen sind holomorphe Funktionen mit einem bestimmten Transformationsverhalten bzgl. der Modulgruppe und einem endlichen Wert im Punkt Unendlich. Die Modulkurven, d.h. die Kompaktifizierung der Bahnenräume der Operation der Modulgruppe und ihrer Kongruenzuntergruppen, sind kompakte Riemannsche Flächen. Damit stellen sich Modulformen als Vektorräume geeigneter Differentialformen auf kompakten Riemannschen Flächen heraus. Die Dimension dieser Vektorräume läßt sich mit dem Satz von Riemann-Roch berechnen.

Die Vorlesung stellt an verschiedenen Stellen einen Bezug zur Zahlentheorie her, etwa zur Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper, zu Jacobis 4-Quadratesatz und zu Ramanujans Vermutungen über die tau-Funktion.

In der Vorlesung wird die Open-Source-Software PARI verwendet. Mit ihrer Hilfe lassen sich viele Aussagen der Vorlesung nachvollziehen. Außerdem können die Hörer so selbst zahlreiche nicht-triviale Beispiele rechnen, die bei manuellem Vorgehen nur schwer zu behandeln wären.

The lecture can be held in English if required.

 

Zielgruppe: Mathematikstudenten im Masterstudium, 9 ECTS. (Modul WP37, WP36, WP30)

 

Vorkenntnisse: Funktionentheorie.

Hilfreich sind außerdem Kenntnisse über kompakte Riemannsche Flächen etwa im Umfang des unten genannten Buches von O. Forster (Garben, Satz von Riemann-Roch, Serre Dualität, Formel von Riemann-Hurwitz), aus dem Gebiet der Algebraische Geometrie (Elliptische Kurven) und der Algebraischen Zahlentheorie (Zahlkörper). 

 

Referenz (nach wachsendem Schwierigkeitsgrad)

Ahlfors, Lars: Complex Analysis. McGraw-Hill 1966

Serre, Jean-Pierre: A Course in Arithmetic. Springer 1973. Insbesondere „Part II. Analytic Methods“.

Chenevier, Gaëtan: Introduction aux Formes Modulaires. (Abruf Internet)

Forster, Otto: Riemannsche Flächen. Springer 1977

Diamond, Fred; Shurmann, Jerry. A First Course in Modular Forms. Springer 2005

Pantchichkine, Alexeï: Formes Modulaire et Courbes Elliptiques. https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~panchish/06ensl.pdf

Zagier, Don: https://www.youtube.com/watch?v=zKt5L0ggZ3o

Außerdem:

PARI, siehe https://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html