Lie-Algebren in Mathematik und Physik

 

Vorlesung mit Übungen (4+2 std.), WS 2016/17

 

Vorlesung

 

Script

 

Übungen

 

Modulprüfung

 

 

1                   Vorlesung

Lie-Algebren treten in der Physik als Linearisierung von kontinuierlichen Gruppen auf.

Die bekanntesten dieser Lie-Gruppen sind die Drehgruppe SO(3,R) und ihre universelle Überlagerung, die spezielle unitäre Gruppe SU(2). Beide kontinuierlichen Gruppen werden durch dieselbe reelle 3-dimensionale Lie-Algebra o(3,R) = su(2) linearisiert. Ausserdem ist die Lie-Algebra o(3,R) in natürlicher Weise isomorph zur Lie-Algebra des Kreuzprodukts im 3-dimen­si­o­na­len rellen Raum.

 

Vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet, sind Lie-Algebren endlich-dimensionale Vektorräume mit einem zusätzlichen Produkt, der Lie-Klammer. Das typische Beispiel sind Ma­trizenalgebren mit dem Kommutator [A,B] = A×B - B×A als Lie Klammer.

 

Lie Algebren treten häufig dort auf, wo es auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt, weil das Produkt nicht kommutativ ist.

 

Viele Sätze der Matrizenrechung finden ihre Verallgemeinerung in der Theorie der Lie Algebren. Die wichtigsten Beispiele sind die Sätze über die Diagonalisierung und Trigonalisierung von Matrizen mit Hilfe der Eigenwerttheorie, insbesondere der Satz über die Jordan-Form.

Ausserdem werden wir die Exponentialabbildung von Matrizen studieren, welche jeder Matrix eine invertierbare Matrix zuordnet. An dieser Stelle kommt die Analysis in’s Spiel, da Exponential und Logarithmus von Matrizen konvergente Potenzreihen von Matrizen sind.

 

Nach dem Studium von auflösbaren und nilpotenten Lie Algebren bildet die Strukturtheorie der halbeinfachen Lie-Algebren einen wichtigen Teil der Vorlesung. Diese Theorie ist mathematisch sehr befriedigend: Sie fand ihre Krönung in der vollständigen Übersicht aller komplexen halbeinfachen Lie-Algebren. Hierzu gehört neben den Lie-Algebren der klassischen Gruppen eine endliche Anzahl von Ausnahmealgebren.

 

Ebenso befriedigend ist das Studium der Darstellungstheorie komplexer halbeinfacher Lie-Algebren. Sie lassen sich vollständig ausreduzieren in irreduzible Darstellungen. Diese werden wieder durch einfache Kennzahlen klassifiziert. Bekanntlich spielen die Darstellungen der o(3,R) und der Lie Algebren der unitären Gruppen eine bedeutende Rolle in der Quantenmechnik, speziell in der Teilchenphysik.

 

Einige Schlagwörter der Vorlesung: Sätze von Engel und Lie, adjungierte Darstellung, Wurzelsystem, Dynkin Diagramm, Lemma von Schur, Vollreduzibilität von Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren, Tensorprodukt von Darstellungen.

 

 

 

Parallel zur Vorlesung findet eine wöchentliche Übung auf der Basis von Übungsaufgaben statt, die von den Teilnehmern vorher zu rechnen sind. Der erfolgreiche Besuch der Vorlesung wird entweder durch eine mündliche Prüfung oder durch das Bestehen einer Klausur nachgewiesen – Bekanntgabe des Modus erfolgt zu Vorlesungsbeginn.

 

Voraussetzungen zum Verständnis der Vorlesung: Lineare Algebra: Matrizen, Eigenvektoren und Eigenwerte, charakteristisches Polynom, Jordan-Normalform. Analysis inkl. Potenzreihen. Grundkenntnisse über Tensorprodukte sind von Vorteil.

·       Die Vorlesung richtet sich primär an Studenten im Masterstudium.

·       Sie ist auch für interessierte Bachelorstudenten geeignet, die nach ihrem Abschluß ein Masterstudium anschliessen wollen.

·       Die Vorlesung kann auch in den TMP-Abschluss eingebracht werden.

 

The lecture can be held in English if required.

 

Die Vorlesung wird ggf. im nachfolgenden Semester mit einer Vorlesung über Lie-Gruppen fortgesetzt.

 

 

 

Literatur (weitere Literatur zu einem späteren Zeitpunkt)

 

·       [Hum1972] Humphreys, James: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin 1972

 

·       [Boe2011] Böhm, Manfred: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Eine Einführung in die mathematischen Grundlagen. Springer, Berlin 2011

 

·       [Hal 2015] Hall, Brian C.: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer, Berlin 2015

 

·       [Sch1994] Schottenloher, Martin: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Vieweg 1994

 

·       [BJ1925] Born, Max; Jordan, Pascual: Zur Quantenmechanik. Zeitschrift für Physik, 34 (1925), 858-888

 

 

2                   Übungen

 

problems.pdf

 

 

3                   Modulprüfung

·       Die Modulprüfung findet in Form einer mündlichen Prüfung von 30-60 Minuten Dauer statt.

·       Prüfungsstoff ist der Inhalt der mündlichen Vorlesung und der zugehörigen Übungen. (Hinweis: Das im Script enthaltene zusätzliche Material ist nicht Prüfungsgegenstand.)

·       Zur Prüfung sind keine schriftlichen Hilfsmittel zugelassen.

·       Ich werde die Note der jeweiligen Prüfung jedem Teilnehmer nach der letzten Prüfung aller Teilnehmer per email mitteilen.

·       Eine eventuelle Nachprüfung wird im Erfolgsfall mit der Note „ausreichend (4.0)“ bewertet. Voraussetzung für eine eventuelle Nachprüfung ist die Teilnahme an der Prüfung zu den unten festgelegten Zeiten und das Nichtbestehen dieser Prüfung.

·       Die Prüfung findet in deutscher Sprache statt. Exception: For non native German speakers the examination will be held in English.

·       Bitte bringen Sie zur Prüfung Ihren Studentenausweis oder Personalausweis mit.

·       Die Prüfungen der angemeldeten Teilnehmer finden zu nachfolgenden Terminen statt. Alle Prüfungen beginnen s.t.. Sie finden statt im Raum „B 438“ (gleiches Gebäude wie die Vorlesung, aber 4. Stock).

 

 


 

Time

Friday, 24.2.2017

Tuesday, 28.2.2017

Wednesday, 1.3.2017

Thursday, 2.3.2017

  9.00-10.00

Hr. Cihan Gürer

Hr. Michael Hofstetter

Hr. Dominik Schubert

Hr. Simon Hirscher

10.00-11.00

Fr. Eva Maria Hinterreiter

Hr. Nils Köpp

Hr. Maximilian Blumenschein

Hr. Yuhang Song

11.00-12.00

Hr. Christoph Mittermaier

Fr. Alexandra Meyer

Fr. Ursula Schandl

Fr. Uljana Apel

 

 

 

 

 

13.00-14.00

Hr. Simon Stadler

Fr. Simone Fischer

Fr. Lena Pech

Hr. Dongwon Kim

14.00-15.00

Hr. Henning Flechtner

Hr. Stefan Schmid

Hr. Bernhard Brücklmeier

Hr. Simon Bischoff