Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Sommersemester 2018
Vorlesung (4+2): Lie-Algebren
Sommersemester 2018
Beschreibung
Literatur
Modulprüfung
1. Beschreibung
Lie-Algebren
sind Vektorräume mit einer zusätzlichen nicht-Abelschen Verknüpfung, der
Lie-Klammer. Jede Algebra von Matrizen wird zu einer Lie-Algebra, wenn man den
Kommutator zweier Matrizen als Lie-Klammer definiert. Lie Algebren treten häufig
dort auf, wo es auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt, weil das Produkt
nicht kommutativ ist.
Eine
wesentlichen Bedeutung von Lie-Algebren besteht darin, daß Lie-Algebren die
Linearisierung von Lie-Gruppen sind. Hierbei bestimmt die Lie-Klammer nach der
Formel von Baker-Campbell-Hausdorff die Gruppenmultiplikation. In vielen Fällen
kann das Studium einfach zusammenhängender Lie-Gruppen auf das Studium ihrer
Lie-Algebren zurückgeführt werden.
Lie-Gruppen wie
SO(2,R), SO(3,R), SU(2) oder die Lorentz-Gruppe SO(1,3) treten in vielen
Gebieten der Physik auf. Als Symmetriegruppe stehen sie hinter den beobachteten
Erscheinungen; letztere sind ihre Darstellungen.
Viele Sätze der
Matrizenrechung finden ihre Verallgemeinerung in der Theorie der Lie- Algebren.
Die wichtigsten Beispiele sind die Sätze über die Diagonalisierung und
Trigonalisierung von Matrizen mit Hilfe der Eigenwerttheorie, insbesondere der
Satz über die Jordan-Form.
Ausserdem
werden wir die Exponentialabbildung von Matrizen studieren, welche jeder Matrix
eine invertierbare Matrix zuordnet. An dieser Stelle kommt die Analysis in’s
Spiel, da Exponential und Logarithmus von Matrizen konvergente Potenzreihen von
Matrizen sind.
Nach dem
Studium von auflösbaren und nilpotenten Lie-Algebren werden wir am Beispiel der
Lie-Algebren sl(n,C) die Struktur halbeinfacher komplexer Lie-Algebren veranschaulichen.
Dieser Teil war Gegenstand einer Vorlesung im WS 2016/17. Jetzt dient
die Strukturtheorie als Einstieg in die Darstellungstheorie halbeinfacher
komplexer Lie-Algebren. Diese lassen sich vollständig ausreduzieren in
irreduzible Darstellungen, und letztere werden durch einfache Kennzahlen
klassifiziert.
Anwendungen
ergeben sich für die endlich-dimensionalen Darstellungen kompakter reeller
Lie-Gruppen wie SO(3,R) und die unitären Gruppen. Diese Gruppen spielen eine
bedeutende Rolle in der Quantenmechnik, speziell in der Teilchenphysik.
Einige
Schlagwörter der Vorlesung: Sätze von Engel und Lie, adjungierte Darstellung,
Wurzelsystem, Cartan Algebra, Wurzelsystem, Lemma von Schur, Vollreduzibilität
von Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren, Tensorprodukt von Darstellungen,
Fundamentale Gewichte.
Parallel zur
Vorlesung findet eine wöchentliche Übung auf der Basis von Übungsaufgaben
statt, die von den Teilnehmern vorher zu rechnen sind. Der erfolgreiche Besuch
der Vorlesung wird entweder durch eine mündliche Prüfung oder durch das
Bestehen einer Klausur nachgewiesen – der Modus wird im Laufe der Vorlesung
bekanntgegeben.
The lecture can
be held in English if required.
Zielgruppe: Die Vorlesung richtet sich primär an Mathematikstudenten
im Masterstudium.
Sie ist auch
für interessierte Bachelorstudenten geeignet, die nach ihrem Abschluß ein
Masterstudium anschliessen wollen.
Die Vorlesung
kann auch in den TMP-Abschluss eingebracht werden.
Vorkenntnisse: Lineare Algebra. Analysis incl. Potenzreihen.
Grundkenntnisse über Tensorprodukte sind von Vorteil.
2. Literatur
·
Hilgert,
Joachim; Neeb, Karl-Herrmann: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Braunschweig 1991.
Teil II des Buches ist eine Einführung in das Thema der Vorlesung, beginnend
auf einem elementaren Level.
·
Humphreys,
James: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin
1972
·
Hall,
Brian C.: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary
Introduction. Springer, Berlin 2015
Weitere
Literatur zu einem späteren Zeitpunkt in der Vorlesung.
3. Modulprüfung
Die
Modulprüfung zum Erreichen der ECTS-Punkte findet in der Zeit
Dienstag, 24.7.2018 - Donnerstag,
26.7.2018
in Raum B 438
(Mathematisches Institut) statt.
Die Püfung wird
als mündliche Einzelprüfung durchgeführt, Dauer: 30-60 Minuten. Es sind keine
Hilfsmittel zugelassen. Bitte bringen Sie Ihren Studentenausweis mit.
Prüfungsstoff
ist der Inhalt der Vorlesung „Lie-Algebren“ und der zugehörigen Übungen.
Ich
werde jedem Teilnehmer das Ergebnis seiner Prüfung per email mitteilen, sobald
alle Kandidaten ihre Prüfung beendet haben.
Nr. |
Tag |
Uhrzeit |
Name |
1 |
Tuesday,
24.7. |
8.30-9.30 |
Fr.
Yessim |
2 |
|
9.30-10.30 |
Hr.
Kleiner |
3 |
|
10.30-11.30 |
Hr.
Soehnen |
|
|
|
|
4 |
|
12.15-13.15 |
Hr.
Giantsos |
5 |
|
13.15-14.15 |
Gr.
Garcia |
|
|
|
|
6 |
|
14.45-15.45 |
Hr.
Gundlach |
7 |
|
15.45-16.45 |
Hr.
Valbuena |
|
|
|
|
8 |
Wednesday,
25.7. |
8.30-9.30 |
Hr.
Zelinski |
9 |
|
9.30-10.30 |
Hr.
Kress |
10 |
|
10.30-11.30 |
Fr.
Steibel |
|
|
|
|
11 |
|
12.15-13.15 |
Hr.
Fragkos |
12 |
|
13.15-14.15 |
Hr.
Nakamura |
13 |
|
14.15-15.15 |
Hr.
Gao |
|
|
|
|
14 |
|
15.45-16.45 |
Hr.
Zwonek |
15 |
|
16.45-17.45 |
Hr.
Haslauer |
|
|
|
|
16 |
Thursday,
26.7. |
8.30-9.30 |
Fr. Nkeng |
17 |
|
9.30-10.30 |
Hr. Scheufele |
18 |
|
10.30-11.30 |
Fr. Makridou |
|
|
|
|
19 |
|
12.15-13.15 |
Fr.
Freund |
20 |
|
13.15-14.15 |
Hr.
Semrau |
21 |
|
14.15-15.15 |
Hr.
Vavilin |
|
|
|
|
22 |
|
15.45-16.45 |
Hr.
Blinganser |
23 |
|
16.45-17.45 |
Hr.
Panagiotis |