Lie-Gruppen

 

Vorlesung mit Übungen (4+2 std.), SS 2017

 

 

 

Beschreibung

 

Modulprüfung

 

Übungsaufgaben

 

Script

 

1                   Beschreibung

 

In der Theorie der Lie-Gruppen verbinden sich Analysis und Algebra: Jede Lie-Gruppe ist zum einen eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zum anderen eine Gruppe. Beide Eigenschaften sind durch die Forderung verbunden, dass die Gruppenmultiplikation differenzierbar ist.

 

Die bekanntesten Beispiele sind die klassischen Gruppen wie SL(n,C), SU(n), SO(n,R) o­der die Lo­rentz­­­gruppe. Alle genannten Gruppen sind Matrizengruppen. Allerdings läßt sich nicht jede Lie-Gruppe als Matrizengruppe realisieren.

 

Als differenzierbare Mannigfaltigkeit hat eine Lie-Gruppe an jeder Stelle einen Tangentialvektorraum. Die Linearisierung der Gruppenstruktur induziert hierauf eine zusätzliche Struktur: Der Tangentialraum an der Stelle des neutralen Elements ist eine Lie-Algebra.

 

Wesentliche Eigenschaften einer Lie-Gruppe lassen sich aus ihrer Lie-Algebra ableiten. Das Hilfsmittel hierzu ist die Exponentialabbildung von der Lie-Algebra in die Lie-Gruppe. Dabei verallgemeinert sich die aus der Situation reller oder komplexer Zahlen bekannte Funktionalgleichung zur Formel von Campbell-Hausdorff. Diese zeigt, dass die Multiplikation in einer Lie-Gruppe durch die Lie-Klammer ihrer Lie-Algebra bestimmt ist.

 

Nach einem Satz von Lie gehört zu jeder Lie-Algebra eine eindeutig bestimmte zusammenhängende, einfach-zusammenhängende Lie-Gruppe. Sie ist die universelle Überlagerung aller zusammenhängenden Lie-Gruppen mit gleicher Lie-Algebra.

 

 

Parallel zur Vorlesung findet eine wöchentliche Übung auf der Basis von Übungsaufgaben statt, die von den Teilnehmern vorher zu rechnen sind. Der erfolgreiche Besuch der Vorlesung wird entweder durch eine mündliche Prüfung oder durch das Bestehen einer Klausur nachgewiesen – Bekanntgabe des Modus erfolgt zu Vorlesungsbeginn.

 

 

Für das Verständnis der Vorlesung werden folgende Themen vorausgesetzt:

 

·       Topologische Grundbegriffe

·       Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

 

Desweiteren sind hilfreich Kenntnisse über

 

·       Überlagerungstheorie

·       Lie-Algebren (Hierfür steht das Script aus dem WS 2016/17 zur Verfügung)

·       Funktionentheorie

·       Gewöhnliche Differentialgleichungen

 

Zielgruppe:

 

·       Die Vorlesung richtet sich an Studenten der Mathematik im Masterstudium.

·       Die Vorlesung kann auch in den TMP-Abschluss eingebracht werden.

 

The lecture can be held in English if required.

 

 

Literatur (weitere Literatur zu einem späteren Zeitpunkt)

 

 

·       Hall, Brian C.: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer, Berlin 2015

 

·       Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Vieweg 1991

 

·       Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann: Structure and Geometry of Lie Groups. Springer 2012

 

·       Schottenloher, Martin: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Vieweg 1994

 

·       Serre, Jean-Pierre: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University. 2nd edition, Springer, Berlin 2006

 

·       Spanier, Edwin, H.: Algebraic Topology. McGraw-Hill, 1966

„Chapter II. Covering Spaces and Fibrations“ ist relevant

 

 

2                   Modulprüfung

Die Modulprüfung für die angemeldeten Teilnehmer findet an folgenden Terminen im Raum B 438 statt. Es handelt sich um eine mündliche Prüfung, Dauer 30-60 Minuten.

 

Uhrzeit

Dienstag 8.8.2017

Mittwoch 9.8.2017

9 - 10

Hr. Wierichs

 

10 -11

Hr. Schmitt

Hr. Blumenschein

11 -12

Hr. Giantsos

Hr. Atzberger

 

 

 

13 -14

Fr. Stadlmayr

Hr. Englniederhammer

14 -15

Hr. Semrau

Hr. Brücklmeier

15 -16

Hr. Hirscher