Seminar zur Zahlentheorie (Lehramt Gymnasium)

 

SS 2016

 

Inhalt und Teilnahmebedingungen:

 

Das Seminar behandelt Themen aus der elementaren und der algebraischen Zahlentheorie.

Es soll zum einen die Theorie behandelt werden, zum anderen sollen mit Toolunterstützung Beispiele vorgeführt werden.

 

Das Seminar wird parallel in zwei Kursreihen durchgeführt. Jede Kursreihe hat dieselben Themen und maximal 12 Teilnehmer.

 

Grundlage dieses Seminars sind das Buch 

 

·       [For1996] Forster, Otto : Algorithmische Zahlentheorie. Vieweg 1996 (Die 2. Auflage von 2014 hat teilweise geänderte Kapitelnummern)

 

sowie die beiden Tools

 

·       ARIBAS

 

https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/sw/aribas.html

 

·       PARI

 

http://pari.math.u-bordeaux.fr/

 

Voraussetzung für die erfolgreiche Teilnahme an diesem Seminar ist ein Vortrag von 60 Minuten Dauer (Einzelvortrag) in einem der beiden Kurse. Wer einen Vortrag halten will, sollte mir spätestens 1 Woche vorher eine schriftliche Gliederung seines Themas im Umfang von etwa zwei DIN A4-Seiten vorlegen und mit mir durchsprechen.

 

 

Weitere Literatur:

 

·       [Coh1993] Cohen, Henri: A course in Computational Algebraic Number Theory. Springer 1993

 

·        [IR1972] Ireland, Kenneth; Rosen, Michael: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer 1972

 

·       [Mar1977] Marcus, Daniel: Number Fields. Springer 1977

 

·       [MP2011] Müller-Stach, Stefan; Piontkowski, Jens: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Vieweg 2011

 

·       Samuel, Pierre: Théorie Algébriques des Nombres. Hermann 1967

 

 

Klassiker des 20. Jahrhunderts

 

·       Borevicz, S.; Shafarevic, I.: Zahlentheorie. Birkhäuser 1966

 

·       Hardy, G.; Wright, E.: An Introduction to the Theory of Numbers. Clarendon Press 1978

 


 


Nr.

Vortragsthema

Ungefährer Inhalt

1

Euklidischer Algorithmus

Integritätsbereich, Euklidischer Ring, Hauptidealring, Berechnung ggT mit Euklidischem Algorithmus, Beispiele mit ARIBAS

Literatur:

[For1996]: Kap. 4 Euklidischer Algorithmus

2

Faktorisierung in Hauptidealringen

Eindeutige Primfaktorzerlegung in Hauptidealringen, Sieb des Eratosthenes, Primelemente im Polynomring Q[X], Beispiele mit ARIBAS

Literatur:

[For1996]: Kap. 5 Primfaktor-Zerlegung

3

Struktur der Restklassenringe

Primkörper F_p := Z/pZ, Chinesischer Restsatz, Struktur von Z/mZ, Euler’sche phi-Funktion

Literatur:

[For1996]: Kap. 6  Der Restklassenring Z/mZ

4

Test auf Primzahl oder Nicht-Primzahl

Sätze von Fermat, Euler, Wilson; Fermat-Zahlen F_n, Mersenne-Zahlen M_p, Beispiele mit ARIBAS

Literatur:

[For1996]: Kap. 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson

5

Die Einheitengruppe der Restklassenringe

Produktzerlegung endlicher Abelscher Gruppen, Existenz von Untergruppen in endlichen Abelschen Gruppen, Zyklizität von (F_p)*, Primitivwurzeln mod p

Literatur:

[For1996]: Kap. 8  Die Struktur von (Z/mZ)*, Primitivwurzeln.

6

Quadratische Reziprozität

Legendre Symbol, Euler-Kriterium, Gauß’sche Summe, Quadratische Reziprozität mit Ergänzungssätzen, Jacobi Symbol

Literatur:

[For1996]: Kap. 11 Quadratische Reste, quadratisches Reziprozitätsgesetz 

[IR1972]: Chap. 6, §3 Quadratic Gauss Sums

7

Probabilistische Primzahltests

Carmichael Zahl, Solovay-Strassen Test, Beispiele mit ARIBAS

Literatur:

[For1996]: Kap. 10 Zur Umkehrung des Satzes von Fermat, Kap. 12 Probabilistische Primzahltests

8

Zahlkörper

Definition, Spur und Norm, ganze Elemente, Diskriminante, Galoisgruppe, Einheitengruppe, Zerlegung in Primideale. Ggf. Hauptsatz der Galoistheorie für Körpererweiterungen

Literatur:

[Mar1977]: Ch. 2, App. 2

[IR1972]: Ch. 12

9

Quadratische Zahlkörper

Ganze Zahlen, Diskriminante, Zerlegung von Primidealen, Galoisgruppe, Einheitengruppe im imaginär-quadratischen Fall, Beispiele mit PARI

Literatur:

[IR1972]: Ch. 13, §1

[For1996] : Kap. 23 Quadratische Zahlkörper

10

p-ter Kreisteilungskörper, p prim

 

Galois-Gruppe, Einbettung quadratischer Zahlkörper in Kreisteilungskörper, Diskriminante, Ganze Zahlen, Zerlegung von Primidealen, Beispiele mit PARI

Literatur:

[IR1972]: Ch. 13, §2

[Mar1977]: Ch. 2 und 3

11

Kettenbrüche

Definition, Endliche Kettenbrüche, Konvergenz, Periodische Kettenbrüche, Beispiele mit ARIBAS

Literatur:

[For1996]: Kap. 21 Kettenbrüche

[MP2014]: Kap. 10 Kettenbrüche

12

Pell‘sche Gleichung

Geometrische Veranschaulichung als Hyperbel, Gruppenstruktur, Einheitengruppe reell-quadratischer Zahlkörper

Literatur:

[For1996] : Kap. 25 Die Pell’sche Gleichung

 


 

Nr.

Di, 10-12 Uhr

Do, 10-12 Uhr

 

1

 

Herr Brandl, 12.4.2016

 

Herr Vorderobermeier, 14.4.2016

 

2

 

Frau Schäfer, 19.4.2016

 

Herr Fleischmann, 21.4.2016

 

3

 

Frau Schaller, 26.4.2016

 

Herr Todi, 28.4.2016

 

4

 

Herr Lorenz, 3.5.2016

 

Frau Erhardt, 12.5.2016

 

5

 

Frau Uwira, 10.5.2016

 

Frau Bex, 19.5.2016

 

6

 

Herrn Sandt, 24.5.2016

 

Frau Hoyer, 2.6.2016

 

7

 

Herr Elender, 31.5.2016

 

Herr Gruber, 9.6.2016

 

8

 

Herr Wagner, 7.6.2016

 

Herr Geiger, 16.6.2016

 

9

 

Herr Schmidt, 14.6.2016

 

Frau Erl, 23.6.2016

 

10

 

Herr Behrens, 21.6.2016

 

Herr Eckel, 30.6.2016

 

11

 

Herr Schöniger, 28.6.2016

 

Frau Rinderle, 7.7.2016

 

12

 

Herr Wehler, 5.7.2016

 

Herr Winter, 14.7.2016

Beginn: 10.30 Uhr