PDE I: Lecture summariesLecturer: Prof. Dr. BachmannAssistant: Dr. Soneji Marker: Leo Gebauer (email: leo.gebauer@campus.lmu.de) Dates: Winter Semester 2014/15 |
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Summary of material covered in lectures:
06.10: Was ist eine PDG; kurze Herleitung aus Prinzipien; Notationen (Multiindizes, partielle Ableitungen); klassische Lösungen und Vielfalt der Lösungen; lineare vs nicht-lineare PDG; Beispiele (Laplace, Burgers, Monge-Ampère, Navier-Stokes)09.10: Wohlgestellte Probleme; Klassische vs schwache Lösungen; Klassifizierung der linearen PDG 2. Ordnung; Die lineare Transportgleichung; Das homogene Problem mit konstantem Koeffizient; Interpretation durch Charakteristiken; Einführung der Methode der Charakteristiken für stetige Koeffizienten und C^1 Anfangsdaten
13.10: Diskussion der Methode der Charakteristiken für Anfangswertprobleme; Beispiele (eindeutige vs vielfache Lösungen); Erweiterung auf das inhomogene Problem; Beispiel
16.10: Laplace und Poisson Gleichungen, Einführung; Harmonische Funktionen, Definition; Der Mittelwertsatz (Harmonische Funktion äquivalent zu stetig + Mittelwerteigenschaft); harmonische Funktionen sind C^∞; Beweise
20.10: Wiederholung, Mittelwertsatz und unendliche Differenzierbarkeit; Erster Harnackscher Satz (Abgeschlossenheit der Menge harmonischer Funktionen); Satz von Liouville (einseitig beschränkte harmonische Funktionen sind konstant); Zweiter Harnackscher Satz (nichtnegative harmonische Funktionen haben vergleichbare Supremum und Infimum); Vorblick auf Minimumsprinzip
23.10: Das starke Minimumprinzip für harmonische Funktionen (die Menge der Minimumstelle ist offen) und Korollare (Minima nicht konstanter Funktionen liegen auf dem Rand); Das schwache Minimumprinzip; Innere Abschätzung für die partiellen Ableitungen; Harmonische Funktionen sind analytisch
27.10: Das allgemeine Dirchlet Problem, Diskussion; Eindeutigkeit der Lösung; Stabilität; Lösung für die Kugel, das Poisson-Kern; Poisson-Darstellung der harmonischen Funktionen
30.10: Die Perronsche Lösungsmethode; Superharmonische Funktionen: Definition, Minimumprinzipien; Das Poisson-Integral von einer superharmonischen Funktion ist superharmonisch; Das Infimum von einer Familie von superharmonischen Funktionen ist superharmonisch; Der Satz von Perron
03.11: Beweis vom Perronschen Satz; Definition einer Barriere und eines regulären Randpunktes; Beweis vom Existenzsatzes für die Laplacegleichung (Existenz einer Lösung gdf jeder Randpunkt ist regulär); Die äussere Kugeleigenschaft
06.11: Die Poissongleichung, Einführung; Definition der Grundlösung und erste Eigenschaften (Ableitungen, Abschätzungen davon, Harmonizität); Das Newtonpotential löst die Poissongleichung für hölderstetige Funktionen; Definition und Eindeutigkeit der Greenschen Funktion
10.11: Abschätzungen für die Greensche Funktion; Symmetrie der Greenschen Funktion und Erweiterung; Darstellung der Lösung des Dirichletproblems für die Poissongleichung; Zusammenfassung: Existenz, Eindeutigkeit der Greensche Funktion und der Lösung für reguläre Ränder
13.11: Die Greensche Funktion i) für den Halbraum, ii) für die Kugel; Variationsmethoden: Eindeutigkeit; Variantionsrechnug: u ist eine Lösung des Dirichletproblems gdf u ist ein Minimierer des Energiefunktionals. Zusammenfassung: Elliptische Gleichungen
17.11: Die Wärmeleitungsgleichung: Einführung, Verbindung mit der Brownschen Bewegung; Skalierungsinvarianz; `Herleitung’ des Wärmeleitungskerns; Lösung des Anfangswertproblem für stetige, beschränkte Anfangsdaten
20.11: Die WLG: unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit; das Duhamelsche Prinzip; Eine Lösung der inhomogenen WLG: Beweis; Rückkehr zum Gleichgewicht im Fall N>2 (für t -> unendlich ist die Lösung der WGL eine Lösung der Laplacegleichung)
24.11: Definition einer Wärmekugel, Diskussion; Integration über Wärmekugel; Definition eines parabolische Zylinders (pZ); Die Mittelwerteigenschaft für klassische Lösungen der WGL; Das Maximumprinzip (und Minimumprinzip); Eindeutigkeit der Lösung für das Randwertproblem auf einem pZ.
27.11: Das Cauchy Problem für die WLG; Maximumprinzip unter exponentieller Bedingung; Stabilität und Eindeutigkeit; Glättung und L^p-Anfangsbedingung; innere Abschätzungen der Ableitungen; Irreversibilität; Diskussion
1.12: Eindeutigkeit für das inverse Problem; Die 1D homogene Wellengleichung: allgemeine Lösung; Beziehung zur 1D Transportgleichung; die D’Alembertsche Formel löst das Anfangwertsproblem in 1D, Diskussion; Die inhomogene Gleichung: Duhamels Prinzip
4.12: Kausalität, rückwärts Lichtkegel und endliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit; Die festgehaltene Saite; Mittel über Kugeln, Eigenschaften; Die Euler-Poisson-Darboux Gleichung; Die Kirchhoffsche Formel in N=3
8.12: Das Huygenssche Prinzip; Die Lösung im Fall N=2 (`method of descent’), die Poissonsche Formel; Kausalität
11.12: Die Lösungen in beliebiger Dimension; Unterschied N gerade/ungerade; das allügemeine Huygenssche Prinzip; Die inhomogene Gleichung, Duhamels Prinzip; Energierhaltung; endliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit (ohne explizite Lösung); Eindeutigkeit
15.12: Nichtlineare PDG erster Ordnung, Einleitung; Quasilineare Gleichungen: Charakteristiken (Gleichungen und Anfangsbedingungen, Lösungsebene); Beispiele; Transversalitätsbedingung, geometrische Bedeutung; Lokale Existenz und Eindeutigkeit; (Gegen)Beispiele
18.12: Der völlig nichtlineare Fall: Analytische Herleitung der charakteristischen Gleichungen; Beispiel; Diskussion der Anfangsbedingungen; Transversalitätsbedingung und lokale Existenz und Eindeutigkeit
22.12: Charakteristiken und Randwertprobleme: Diskussion; Globale Lösungen; Beispiel: Die Hamiltonia-Jacobi-Gleichung; Beispiel: Die Burgers-Gleichun (VerdünnungswelleN, Schockwellen); Schwache Lösungen und die Rankine-Hugoniot-Bedingung
8.1: Schwache Ableitung: Definition und Diskussion; Beispiele; Die Lösung von u’=0 sind konstante Funktionen, Diskussion; Eigenschaften (Produktregel, Vertausch von partiellen Ableitungen); schwach differenzierbare Funktionen sind Limiten von differenzierbaren Funktionen; Differenzierbarkeit von |u|
12.1: Schwache Lösungen einer Differenzialgleichung; Programm und Diskussion; Sobolevräume: Definition, Norme, Vollständigkeit; Der Fall H^k; In 1D: Elemente von W^{1,p} sind stetig; L^p-Stammfuncktionen von L^p Funktionen sind in W^{1,p}
15.1: Erweiterung von Sobolevfunktionen; Näherung von Sobolevfunktionen mit glatten Funtionen; Sobolev-Einbettungssatz (W^{1,p} -> L^\infty); Produkt von Sobolevfunktionen ist eine Sobolevfunktion, Ableitung von einem Produkt; Die Kettenregel; der Raum W_0^{1,p}
19.1: W_0^{1,p} Funktionen sind null auf dem Rand; eine Poincaresche Ungleichung; Satz von Lax-Milgram (ohne Beweis); Erstes Beispiel: lineare inhomogene PDG zweiter Ordnung mit Dirichlet Randbedingungen (Definition einer schwachen Lösung, Existenz und Eindeutigkeit, Regularität)
22.1: Sobolevräume und der Satz von Lax-Milgram: weitere Beispiele (Neumann Randwertproblem, Sturm-Liouville Problem)