Department Mathematik
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Yorck Sommerhäuser

Seminarvorträge:

  1. Die erste Konstruktion
    • Datum:
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir führen eine Konstruktion durch, bei der zwei Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren mit einer gewöhnlichen Hopfalgebra zu einer Hopfalgebra mit Dreieckszerlegung verklebt werden. Wir zeigen, daß dies die allgemeine Form einer Hopfalgebra mit Dreieckszerlegung ist, für die die Borel-artigen Unteralgebren Radford-Biprodukte sind.

  2. Von f zu U
    • Datum: Donnerstag, 23.12.94
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir wenden die erste Konstruktion auf den Fall an, in dem die beiden Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren zueinander dual sind. Wir erklären, inwiefern die Drinfel'd-Doppelkonstruktion ein Spezialfall dieser Konstruktion ist. Schließlich erklären wir, wie die von G. Lusztig eingefürte deformierte universelle Einhüllende U vermittels dieser zweiten Konstruktion aus der von Lusztig eingeführten Algebra f gewonnen werden kann.

  3. Halbeinfache Hopfalgebren
    • Datum: Donnerstag, 30.11.95
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung:

  4. Hopfalgebren mit Dreieckszerlegung
    • Datum: Donnerstag, 20.6.96
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung:

  5. Kac-Moody-Algebren
    • Datum: Donnerstag, 12.12.96
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir besprechen die Analoga der ersten und der zweiten Konstruktion für Liebialgebren. Bei der ersten Konstruktion werden zwei Yetter-Drinfel'd-Liealgebren mit einer gewöhnlichen Liealgebra zu einer Liealgebra mit Dreieckszerlegung verklebt. Die zweite Konstruktion ist eine Anwendung der ersten Konstruktion in dem Fall, daß die beiden Yetter-Drinfel'd-Liealgebren zueinander dual sind. Schließlich zeigen wir, daß man mit Hilfe der zweiten Konstruktion alle symmetrisierbaren Kac-Moody-Algebren konstruieren kann.

  6. Natürliche Transformationen in der Kategorie der Yetter-Drinfel'd-Moduln
    • Datum: Donnerstag, 6.2.97
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir führen den Begriff der Bandtransformation ein und vergleichen ihn mit dem Begriff der monoidalen Transformation. Wir konstruieren eine Bandtransformation in der Kategorie der Yetter-Drinfel'd-Moduln. Für eine Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra diskutieren wir zwei monoidale Transformationen, die Integraltransformation und die modulare Transformation, die mit der Struktur der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra in engem Zusammenhang stehen. Insbesondere leiten wir eine Formel für die vierte Potenz der Antipode einer Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra ab, in der diese vierte Potenz durch die Integraltransformation und die Bandtransformation ausgedrückt wird. Mit diesen Hilfsmitteln bestimmen wir die Integrale einer Hopfalgebra mit Dreieckszerlegung vollständig.

  7. Zur fünften Kaplansky-Vermutung
    • Datum: Donnerstag, 13.2.97
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, daß die Antipode einer halbeinfachen Hopfalgebra eine Involution ist, sofern die Charakteristik der Grundkörpers sehr groß ist.

  8. Fusionsringe und Maximalordnungen
    • Datum: Donnerstag, 17.7.97
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Über algebraisch abgeschlossenen Köpern der Charakteristik Null ist der Charakterring einer halbeinfachen Hopfalgebra halbeinfach. Der Grothendieckring, die Z-Form des Charakterrings, ist eine Ordnung in dem Charakterring. Wir bestimmen die Primzahlen, für die die Lokalisierung des Grothendieckringes bei dieser Primzahl eine maximale Ordnung im Charakterring ist, indem wir die Diskriminante des Grothendieckringes durch den Charakter der adjungierten Darstellung ausdrücken. Wir zeigen, daß der Grothendieckring selbst keine Maximalordnung ist. Wir vergleichen diese Resultate mit Resultaten über die arithmetischen Eigenschaften von Fusionringen, wie sie in der konformen Feldtheorie erzielt wurden.

  9. Die Doppelkonstruktion von Drinfel'd und die Grundkonstruktion von Jones
    • Datum: Donnerstag, 24.7.97
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Die Grundkonstruktion von V. Jones ordnet einer Erweiterung halbeinfacher Algebren eine weitere Erweiterung halbeinfacher Algebren zu, bei der die hinzukommende Algebra der Endomorphismenring der alten Erweiterung ist. Ein Beispiel einer solchen Erweiterung ist die Inklusion des Charakterrings einer halbeinfachen Hopfalgebra in der dualen Hopfalgebra. Wir zeigen unter geeigneten Annahmen an den Grundkörper, daß der Endomorphismenring dieser Erweiterung ein Quotient des Drinfel'd-Doppels ist, indem wir zeigen, daß die Wirkung des Drinfel'd-Doppels auf die duale Hopfalgebra genau die Rechtmultiplikation mit Elementen des Charakterrings zentralisiert. Als Folgerung ergibt sich, daß, unter geeigneten Annahmen über den Grundkörper, der Charakterring einer halbeinfachen und kohalbeinfachen Hopfalgebra halbeinfach ist.

  10. Quadrilineare Frobenius-Erweiterungen
    • Datum: Donnerstag, 4.12.97
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir führen den Begriff der quadrilinearen Frobeniuserweiterung als eine Verallgemeinerung des Begriff der sesquilinearen Frobeniuserweiterung, d. h. der Frobeniuserweiterung der zweiten Art bzw. der Beta-Frobeniuserweiterung, ein. In der Definition einer quadrilinearen Frobeniuserweiterung werden die Inklusion und der Automorphismus Beta durch zwei gleichberechtigte Ringhomomorphismen ersetzt. Wir erklären, wie sich die wichtigsten Eigenschaften sesquilinearer Frobeniuserweiterungen auf quadrilineare Frobeniuserweiterungen übertragen. Wir zeigen, daß unter geeigneten Voraussetzungen der Charakterring in der dualen Hopfalgebra eine quadrilineare Frobeniuserweiterung ist, die nicht sesquilinear ist.

  11. Halbeinfache Hopfalgebren der Dimension pq
    • Datum: Donnerstag, 11.12.97
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, daß eine halbeinfache Hopfalgebra der Dimension pq über einem algebraisch abgeschlossenen Köper der Charakteristik Null, die ein nichttriviales gruppenähnliche Element und eine nichttriviale eindimensionale Darstellung besitzt, als ein Radford-Biprodukt aus einem Gruppenring einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung und einer Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra zerlegt werden kann, wobei p und q zwei verschiedene Primzahlen sind. Wir zeigen, daß die Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra als Algebra kommutativ und halbeinfach und als Koalgebra entsprechend kokommutativ und kohalbeinfach sein muß. Im Fall p = 5 und p = 7 leiten wir hinreichende Bedingungen für die Existenz nichttrivialer gruppenähnlicher Elemente, und damit für die Existenz nichttrivialer eindimensionaler Darstellungen, her.

  12. Kommutative Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren
    • Datum: Donnerstag, 22.1.98
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Für zwei verschiedene Primzahlen p und q zeigen wir, daß eine Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra der Dimension q über einem Gruppenring einer zyklischen Gruppe der Ordnung p, die als Algebra kommutativ und halbeinfach und als Koalgebra kokommutativ und kohalbeinfach ist, ein invariantes primitives Idempotent enthalten muß.

  13. Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung
    • Datum: Freitag, 3.7.98
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir zeigen über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik Null, daß für eine Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra über einer Gruppe von Primzahlordnung, die als Algebra kommutativ und halbeinfach und als Koalgebra kokommutativ und kohalbeinfach ist, die Dimension durch das Quadrat der Gruppenordnung teilbar ist. Wir diskutieren Anwendungen auf die Klassifikation halbeinfacher Hopfalgebren.

  14. Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren der Dimension p2
    • Datum: Freitag, 10.7.98
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir konstruieren zu jedem endlichen kommutativen Ring eine nichttriviale Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra. Insbesondere konstruieren wir nichttriviale Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren der Dimension p2.

  15. Strukturtheorie für Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren
    • Datum: Dienstag, 8.12.98
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir beweisen einen Struktursatz für Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung, die als Algebra kommutativ und halbeinfach und als Koalgebra kokommutativ und kohalbeinfach sind: Solche Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren lassen sich, wenn sie nicht trivial sind, in ein Tensorprodukt zweier Gruppenringe zerlegen. Dabei ist die Koalgebrenstruktur die gewöhnliche Tensorprodukt-Koalgebrenstruktur und die Algebrenstruktur ein verschränktes Produkt.

  16. Clifford-Theorie für Radford-Biprodukte
    • Datum: Dienstag, 15.12.98
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, wie sich aus der Clifford-Theorie von Radford-Biprodukten durchsichtige Beweise für Aussagen gewinnen lassen, die in der Strukturtheorie halbeinfacher Hopfalgebren von Bedeutung sind.

  17. Halbeinfache Hopfalgebren der Dimension pq2
    • Datum: Dienstag, 22.12.98
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir diskutieren Anwendungen der Strukturtheorie von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren und der Clifford-Theorie auf die Klassifikation halbeinfacher Hopfalgebren der Dimension pq2.

  18. Kokommutative Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren
    • Datum: 15.6.99
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir besprechen im Detail die Anwendungen der Clifford-Theorie beim Beweis des Struktursatzes für kokommutative, kohalbeinfache Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung.

  19. Halbeinfachheit und Kohalbeinfachheit
    • Datum: 22.6.99
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir diskutieren die Frage, wann eine halbeinfache Hopfalgebra über einem Körper positiver Charakteristik kohalbeinfach ist.

  20. Biprodukte, Dreieckszerlegungen und Hopfalgebrenerweiterungen
    • Datum: 20.7.99
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Aus einer Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra kann man zwei gewöhnliche Hopfalgebren gewinnen: einerseits das Radford-Biprodukt, andererseits eine Hopfalgebra mit Dreieckszerlegung. Wir diskutieren den Zusammenhang dieser Konstruktionen mit Erweiterungen von Hopfalgebren.

  21. Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung (Yetter-Drinfel'd Hopf algebras over groups of prime order)
    • Ort: Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, USA
    • Datum: 24.9.1999
    • Zusammenfassung: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sind Hopfalgebren in einer gewissen quasisymmetrischen Kategorie. Durch die Radfordsche Biprodukt-Konstruktion kann man mit ihrer Hilfe gewöhnliche Hopfalgebren gewinnen. In dem Vortrag betrachten wir Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung, die als Koalgebren kokommutativ und kohalbeinfach sind. Für diese Algebren umreißen wir den Beweis des folgenden Struktursatzes: Eine solche Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra kann in ein Tensorprodukt zweier Gruppenringe zerlegt werden, von denen einer der Gruppenring der zugehörigen Gruppe von Primzahlordnung ist. Die Koalgebrenstruktur ist die gewöhnliche Tensorprodukt-Koalgebrenstruktur, wohingegen die Algebrenstruktur ein verschränktes Produkt ist. Insbesondere ist die Dimension einer solchen Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra durch die betrachtete Primzahl teilbar. Dieser Struktursatz hat zahlreiche Anwendungen innerhalb des Klassifikationsprogramms für halbeinfache Hopfalgebren.

  22. Drinfel'd-Algebren
    • Datum: 3.12.99
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir besprechen eine axiomatische Charakterisierung des Drinfel'd-Doppels einer endlichdimensionalen Hopfalgebra in Form der Faktorisierung in zwei Unteralgebren. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsam mit Y. Zhu verfaßten Arbeit.

  23. Die Modulgruppe und die Drinfel'd-Doppelkonstruktion
    • Datum: 16.6.2000
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir erklären, wie die Modulgruppe auf den Charakterring des Drinfel'd-Doppels einer halbeinfachen Hopfalgebra wirkt.

  24. Das Verbindungsprinzip
    • Datum: 8.2.2001
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir erklären, wie mit Hilfe der Clifford-Theorie ein Zusammenhang zwischen den Moduln einer Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra und den Moduln ihres Radford-Biproduktes hergestellt werden kann, und welche Rolle die Gruppenkohomologie für diesen Zusammenhang spielt.

  25. Selbstduale Moduln über halbeinfachen Hopfalgebren
    • Datum: Donnerstag, 12.7.2001
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, daß eine halbeinfache und kohalbeinfache Hopfalgebra, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß. Dieser Satz verallgemeinert ein klassisches Resultat von W. Burnside über Gruppen ungerader Ordnung.

  26. Radford-Biprodukte und Gruppenkohomologie
    • Datum: Donnerstag, 10.1.2002
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Für Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über abelschen Gruppen wirkt die duale Gruppe auf den Charakterring des Radford-Biproduktes. Im Gegensatz zum kommutativen Fall besteht dabei für nichtkommutative Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Isotropiegruppe eines irreduziblen Charakters des Radford-Biproduktes und der Trägheitsgruppe des zugehörigen Ideals der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra. Vielmehr wird die Isotropiegruppe des irreduziblen Charakters auch durch den Kozykel mitbestimmt, den der Verbindungshomomorphismus in der nichtabelschen Kohomologie der Wirkung der Trägheitsgruppe auf dem zugehörigen Ideal der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra zuordnet. Wir erklären, wie mit Hilfe der Clifford-Theorie die Isotropiegruppe aus der Trägheitsgruppe und dem Kozykel bestimmt werden kann.

  27. Yetter-Drinfel'd-Algebren
    • Datum: Donnerstag, 17.1.2002
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Isomorphieklassen von Yetter-Drinfel'd-Algebren über abelschen Gruppen lassen sich in manchen Situationen durch Angabe eines Kozykels und eines Gruppenautomorphismus vollständig bestimmen. Daraus ergeben sich große Einschränkungen für Yetter-Drinfel'd-Algebrenhomomorphismen in Tensorprodukte. Wir erklären, woher diese Einschränkungen kommen.

  28. Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über abelschen Gruppen
    • Datum: Donnerstag, 24.1.2002
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Eine Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra heißt stabil, wenn ihre zweiseitigen Ideale auch Untermoduln sind. Wir zeigen, daß die Bedingung der Stabilität eine sehr große Einschränkung für die mögliche Struktur einer Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra ist.

  29. Hopfalgebren - historische Wurzeln und aktuelle Entwicklungen
    (Hopf algebras - Historical origins and recent developments)
    • Datum: Mittwoch, 30.1.2002
    • Ort: Universität Syracuse, USA
    • Zusammenfassung: Hopfalgebren sind Algebren, für die man das Tensorprodukt zweier Moduln bilden kann. Sie spielen in einer ganzen Reihe von mathematischen Teilgebieten eine Rolle, sogar in der Physik: In der algebraischen Topologie, in der Theorie der algebraischen Gruppen, in der Dualitätstheorie topologischer Gruppen, an verschiedenen Stellen in der Lie-Theorie, in der Theorie der exakt lösbaren Modelle der statistischen Mechanik, und in der konformen Feldtheorie ist dieser Begriff benutzt worden, um die Prinzipien hinter vielen speziellen Phänomenen zu verstehen und zu formalisieren. Heute kann man erste Anfänge einer allgemeinen Strukturtheorie für diese Algebren erkennen. In dem Vortrag betrachten wir die Rolle der Hopfalgebren in den verschiedenen mathematischen Theorien von den Anfängen bis zu den neuen ersten Elementen einer Strukturtheorie.

  30. Heisenberg-Systeme
    • Datum: Donnerstag, 11.7.2002
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir geben eine Einführung in die Theorie der Heisenberg-Systeme und ihre grundlegenden kombinatorischen Eigenschaften.

  31. Heisenberg-Systeme (Heisenberg systems)
    • Datum: Mittwoch, 2.10.2002
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Wir geben eine Einführung in die Theorie der Heisenberg-Systeme und ihre grundlegenden kombinatorischen Eigenschaften.

  32. Einführung in die Theorie der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren I (Introduction to Yetter-Drinfel'd Hopf algebras I)
    • Datum: Freitag, 4.10.2002
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Wir besprechen grundlegende Eigenschaften von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sowie die Theorie ihrer Integrale.

  33. Einführung in die Theorie der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren II (Introduction to Yetter-Drinfel'd Hopf algebras II)
    • Datum: Mittwoch, 9.10.2002
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Wir diskutieren die Anwendung von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren in der Konstruktion deformierter universeller Einhüllender sowie in der Klassifikation halbeinfacher Hopfalgebren.

  34. Sweedler-Potenzen
    • Datum: Donnerstag, 9.1.2003
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wendet man auf ein Element einer Hopfalgebra die Komultiplikation mehrfach an, permutiert die entstehenden Tensoranden und multipliziert sie dann zusammen, so erhält man eine Sweedler-Potenz. Auf diese Weise entsteht eine Operation einer gewissen Gruppe auf der Hopfalgebra. Wir besprechen den grundlegenden Formalismus, der diesen Operationen zugrunde liegt.

  35. Höhere Frobenius-Schur-Indikatoren
    • Datum: Donnerstag, 16.1.2003
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir erklären, wie man höhere Frobenius-Schur-Indikatoren im Falle halbeinfacher Hopf-Algebren definieren kann, und stellen ein Analogon des Satzes von Frobenius und Schur für höhere Frobenius-Schur-Indikatoren vor. Weiterhin zeigen wir ein Teilbarkeits-Resultat, das den Satz verallgemeinert, daß eine halbeinfache Hopfalgebra, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß.

  36. Über höhere Frobenius-Schur-Indikatoren (On higher Frobenius-Schur indicators)
    • Datum: Freitag, 14.3.2003
    • Ort: DePaul University, Chicago, USA
    • Zusammenfassung: In einer endlichen Gruppe kann man einen irreduziblen Charakter auf der Summe der Potenzen der Gruppenelemente auswerten. Im Falle der Summe der Quadrate der Gruppenelemente wird die entstehende Zahl der Frobenius-Schur-Indikator des Charakters genannt; die höheren Potenzen fühen auf die höheren Frobenius-Schur-Indikatoren. Alle diese Begriffe kann man für Hopf-Algebren verallgemeinern. Wir stellen ein Analogon des Satzes von Frobenius und Schur für höhere Frobenius-Schur-Indikatoren vor. Weiterhin zeigen wir ein Teilbarkeits-Resultat, das den Satz verallgemeinert, daß eine halbeinfache Hopfalgebra, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß.

  37. Über höhere Frobenius-Schur-Indikatoren des Drinfel'd-Doppels einer endlichen Gruppe
    (On higher Frobenius-Schur indicators of the Drinfel'd double of a finite group)
    • Datum: Montag, 17.3.2003
    • Ort: DePaul University, Chicago, USA
    • Zusammenfassung: Wir erklären, was die Ganzzahligkeit der höheren Frobenius-Schur-Indikatoren des Drinfel'd-Doppels einer endlichen Gruppe für die Gruppe selbst bedeutet, und diskutieren unter diesem Gesichtspunkt verschiedene Beispiele.

  38. Über höhere Frobenius-Schur-Indikatoren (On higher Frobenius-Schur indicators)
    • Datum: Dienstag, 25.3.2003
    • Ort: Universität von Südkalifornien, Los Angeles, USA
    • Zusammenfassung: In einer endlichen Gruppe kann man einen irreduziblen Charakter auf der Summe der Potenzen der Gruppenelemente auswerten. Im Falle der Summe der Quadrate der Gruppenelemente wird die entstehende Zahl der Frobenius-Schur-Indikator des Charakters genannt; die höheren Potenzen fühen auf die höheren Frobenius-Schur-Indikatoren. Alle diese Begriffe kann man für Hopf-Algebren verallgemeinern. Wir stellen ein Analogon des Satzes von Frobenius und Schur für höhere Frobenius-Schur-Indikatoren vor. Weiterhin zeigen wir ein Teilbarkeits-Resultat, das den Satz verallgemeinert, daß eine halbeinfache Hopfalgebra, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß.

  39. Höhere Frobenius-Schur-Indikatoren: Beispiele
    (Higher Frobenius-Schur indicators: Examples)
    • Datum: Mittwoch, 26.3.2003
    • Ort: Universität von Südkalifornien, Los Angeles, USA
    • Zusammenfassung: Wir berechnen die höheren Frobenius-Schur-Indikatoren für gewisse halbeinfache Hopfalgebren, die als spezielle zentrale Erweiterungen konstruiert werden. Das Drinfel'd-Doppel einer endlichen Gruppe ist ein Spezialfall dieser Konstruktion.

  40. Titel: Der Index eines Charakters (The index of a character)
    • Datum: Mittwoch, 16.3.2005
    • Ort: DePaul University, Chicago, USA
    • Zusammenfassung: In einer endlichen Gruppe ist der größte Wert, den ein Charakter auf einem Gruppenelement annehmen kann, der Grad des Charakters. Die Einträge der Charaktertafel, die denselben Absolutbetrag wie der Grad haben, stammen von zentralen Elementen des Quotienten, in dem die trivial wirkenden Elemente ausfaktorisiert sind. In dem Vortrag erklären wir, wie diese Korrespondenz auf den Fall halbeinfacher Hopfalgebren verallgemeinert werden kann. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu.

  41. Einführung in die Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren I
    • Datum: Freitag, 21.10.2005
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir geben eine Einführung in die Theorie der Yetter-Drinfel'd-Moduln und der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren, besprechen den Zusammenhang mit der Drinfel'd-Doppel-Konstruktion und zeigen auf, wie über den Projektionssatz von Radford die Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren in die Theorie der gewöhnlichen Hopfalgebren Eingang finden.

  42. Einführung in die Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren II
    • Datum: Freitag, 28.10.2005
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir besprechen die Integraltheorie von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren, erklären ihre Rolle in der Theorie der deformierten universellen Einhüllenden von halbeinfachen Liealgebren und geben einen Struktursatz für kommutative halbeinfache Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung an.

  43. Selbstzentralisierende Unteralgebren
    • Datum: Donnerstag, 24.11.2005
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Eine selbstzentralisierende halbeinfache Algebra in einem Matrizenring ist konjugiert zu den Diagonalmatrizen. Ist der Matrizenring der Ring der Endomorphismen auf einem dualen Gruppenring, so kann es geschehen, daß diese selbstzentralisierende Algebra unter einer kanonischen Wirkung der Gruppe invariant bleibt. Wir diskutieren, wie die Gruppe auf den Idempotenten der Algebra operieren kann.

  44. Selbstzentralisierende Unteralgebren von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren
    • Datum: Donnerstag, 1.12.2005
    • Ort: Universität München, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir wenden die bisher entwickelte Theorie selbstzentralisierender Unteralgebren an, um das Koprodukt in einer Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra zu beschreiben.

  45. Der Satz von Cauchy für Hopfalgebren (Cauchy's theorem for Hopf algebras)
    • Datum: Mittwoch, 12.4.2006
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Der Satz von Cauchy sagt, daß eine Gruppe für jede Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, ein Element dieser Primzahlordnung enthält. Da der Exponent der Gruppe das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Elemente ist, kann man diesen Sachverhalt auch ausdrücken indem man sagt, daß eine Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, auch den Exponenten teilt. Eine bis vor kurzem offene Vermutung von P. Etingof und S. Gelaki besagte, daß dieses Resultat, in dieser Formulierung, auch für halbeinfache Hopfalgebren gilt. Wir stellen in diesem Vortrag einen Beweis dieser Vermutung vor, der auf einer Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu beruht.

      Der Vortrag wendet sich nicht nur an Spezialisten, insbesondere werden keine Vorkenntnisse über Hopfalgebren vorausgesetzt. Wir werden daher am Anfang erklären, was eine Hopfalgebra ist und wie ihr Exponent definiert werden kann. Danach erklären wir, wie man das Analogon des Satzes von Cauchy aus der Theorie der höheren Frobenius-Schur-Indikatoren herleiten kann.

  46. Der Satz von Cauchy für Hopfalgebren (Cauchy's theorem for Hopf algebras)
    • Datum: Donnerstag, 4.5.2006
    • Ort: University of Hong Kong, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Der Satz von Cauchy sagt, daß eine Gruppe für jede Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, ein Element dieser Primzahlordnung enthält. Da der Exponent der Gruppe das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Elemente ist, kann man diesen Sachverhalt auch ausdrücken indem man sagt, daß eine Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, auch den Exponenten teilt. Eine bis vor kurzem offene Vermutung von P. Etingof und S. Gelaki besagte, daß dieses Resultat, in dieser Formulierung, auch für halbeinfache Hopfalgebren gilt. Wir stellen in diesem Vortrag einen Beweis dieser Vermutung vor, der auf einer Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu beruht.

      Der Vortrag wendet sich nicht nur an Spezialisten, insbesondere werden keine Vorkenntnisse über Hopfalgebren vorausgesetzt. Wir werden daher am Anfang erklären, was eine Hopfalgebra ist und wie ihr Exponent definiert werden kann. Danach erklären wir, wie man das Analogon des Satzes von Cauchy aus der Theorie der höheren Frobenius-Schur-Indikatoren herleiten kann.

  47. Ein Überblick über Yetter-Drinfel'd Hopfalgebren (A survey of Yetter-Drinfel'd Hopf algebras)
    • Datum: Freitag, 19.5.2006
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sind eine Klasse verallgemeinerter Hopfalgebren, die in Anwendungen genauso häufig auftreten wie gewöhnliche Hopfalgebren. Das einfachste Beispiel ist die äußere Algebra eines Vektorraumes, aber schon die ursprünglich von H. Hopf betrachteten Beispiele waren keine Hopfalgebren in unserem heutigen Sinn, sondern Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren. Die Verallgemeinerung liegt dabei in der Algebrenstruktur des Tensorproduktes - diese ist hier nicht kanonisch, sondern hängt von einem komplizierteren Vertauschungsgesetz der Faktoren ab - so kann zum Beispiel einer der Faktoren beim Vertauschen ein Vorzeichen aufnehmen, das von seinem Grad in einem Kettenkomplex abhängt.

      In den letzten Jahren sind Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren zu einem der wichtigsten Werkzeuge bei der Entwicklung der Strukturtheorie gewöhnlicher Hopfalgebren geworden. Dies ist eine Konsequenz des Projektionssatzes von Radford, der besagt, daß in einer Zerlegungssituation, die einem semidirekten Produkt analog ist, einer der Faktoren keine gewöhnliche Hopfalgebra ist, sondern eine Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra. Da solche Zerlegungen sowohl in der Strukturtheorie halbeinfacher Hopfalgebren als auch in der Strukturtheorie punktierter Hopfalgebren eine wichtige Rolle spielen, sind Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren zu wichtigen Bestandteilen dieser Theorien geworden.

      In dem Vortrag werden wir zunächst Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren einführen und ihre elementaren Eigenschaften entwickeln, und dann den Projektionssatz von Radford diskutieren, der die Verbindung zu gewöhnlichen Hopfalgebren herstellt. Wir werden uns dann auf die Struktursätze für halbeinfache Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren konzentrieren.

  48. Hopfalgebren - Grundlagen und aktuelle Entwicklungen (Hopf algebras - Foundations and recent developments)
    • Datum: Montag, 26.6.2006 - Dienstag, 4.7.2006
    • Ort: Universität Almeria, Spanien
    • Zusammenfassung: Wir geben eine Einführung in die Theorie der Hopfalgebren mit Blick auf jüngere Resultate über halbeinfache Hopfalgebren. Nachdem wir uns die Grundbegriffe erarbeitet haben, behandeln wir die Theorie der Integrale und deren Anwendung auf Halbeinfachheitsfragen und die Ordnung der Antipode. Dabei betonen wir besonders Resultate, die Analogien in der Theorie der endlichen Gruppen haben, wie die Sätze von Lagrange und Cauchy.

  49. Der Satz von Cauchy für Hopfalgebren (Cauchy's theorem for Hopf algebras)
    • Datum: Montag, 25.9.2006
    • Ort: Universität Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: Der Satz von Cauchy sagt, daß eine Gruppe für jede Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, ein Element dieser Primzahlordnung enthält. Da der Exponent der Gruppe das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Elemente ist, kann man diesen Sachverhalt auch ausdrücken indem man sagt, daß eine Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, auch den Exponenten teilt. Eine bis vor kurzem offene Vermutung von P. Etingof und S. Gelaki besagte, daß dieses Resultat, in dieser Formulierung, auch für halbeinfache Hopfalgebren gilt. Wir stellen in diesem Vortrag einen Beweis dieser Vermutung vor, der auf einer Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu beruht.

      Der Vortrag wendet sich nicht nur an Spezialisten, insbesondere werden keine Vorkenntnisse über Hopfalgebren vorausgesetzt. Wir werden daher am Anfang erklären, was eine Hopfalgebra ist und wie ihr Exponent definiert werden kann. Danach erklären wir, wie man das Analogon des Satzes von Cauchy aus der Theorie der höheren Frobenius-Schur-Indikatoren herleiten kann. Der Vortrag ist auch eine gute Gelegenheit, das Forschungsgebiet eines neuen Kollegen kennenzulernen.

  50. Der Satz von Cauchy für Hopfalgebren II (Cauchy's theorem for Hopf algebras II)
    • Datum: Montag, 9.10.2006
    • Ort: Universität Cincinnati, USA

  51. Zu den Kaplansky-Vermutungen (On Kaplansky's conjectures)
    • Datum: Donnerstag, 2.11.2006
    • Ort: Universität Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: Im Jahre 1973 hielt I. Kaplansky eine Vorlesung über Hopfalgebren an der Universität Chicago. In einem Anhang der Vorlesungsausarbeitung, die er zu dieser Vorlesung anfertigte, führt er zehn offene Probleme der Theorie auf, die ihm wichtig erschienen. In diesem Vortrag erörtern wir den momentanen Forschungsstand zu diesen Vermutungen.

  52. Einführung in die Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren I (Introduction to Yetter-Drinfel'd Hopf algebras I)
    • Datum: Freitag, 12.1.2007
    • Ort: Universität Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sind eine Klasse verallgemeinerter Hopfalgebren, die in Anwendungen genauso häufig auftreten wie gewöhnliche Hopfalgebren. Das einfachste Beispiel ist die äußere Algebra eines Vektorraumes, aber schon die ursprünglich von H. Hopf betrachteten Beispiele waren keine Hopfalgebren in unserem heutigen Sinn, sondern Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren. Die Verallgemeinerung liegt dabei in der Algebrenstruktur des Tensorproduktes - diese ist hier nicht kanonisch, sondern hängt von einem komplizierteren Vertauschungsgesetz der Faktoren ab - so kann zum Beispiel einer der Faktoren beim Vertauschen ein Vorzeichen aufnehmen, das von seinem Grad in einem Kettenkomplex abhängt.

      In dem Vortrag werden wir zunächst gewöhnliche Hopfalgebren und Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren gegenüberstellen und dann die Unterschiede anhand der äußeren und der symmetrischen Algebra herausarbeiten. Anschliessend besprechen wir elementare Eigenschaften von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren. Es werden keine Vorkenntnisse benötigt, die über lineare Algebra hinausgehen.

  53. Einführung in die Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren II (Introduction to Yetter-Drinfel'd Hopf algebras II)
    • Datum: Freitag, 16.2.2007
    • Ort: Universität Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: In den letzten Jahren sind Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren zu einem der wichtigsten Werkzeuge bei der Entwicklung der Strukturtheorie gewöhnlicher Hopfalgebren geworden. Dies ist eine Konsequenz des Projektionssatzes von Radford, der besagt, daß in einer Zerlegungssituation, die einem semidirekten Produkt analog ist, einer der Faktoren keine gewöhnliche Hopfalgebra ist, sondern eine Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra. Da solche Zerlegungen sowohl in der Strukturtheorie halbeinfacher Hopfalgebren als auch in der Strukturtheorie punktierter Hopfalgebren eine wichtige Rolle spielen, sind Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren zu wichtigen Bestandteilen dieser Theorien geworden.

      In dem Vortrag werden wir zunächst die Definition von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren wiederholen und dann den Projektionssatz von Radford diskutieren, der die Verbindung zu gewöhnlichen Hopfalgebren herstellt. Wir werden uns dann auf die Struktursätze für halbeinfache Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren konzentrieren.

  54. Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung
    (Yetter-Drinfel'd Hopf algebras over groups of prime order)
    • Datum: Mittwoch, 14.3.2007
    • Ort: DePaul University, Chicago, USA
    • Zusammenfassung: Wir geben eine Einführung in die Theorie der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren und erklären dann den Struktursatz für nichttriviale halbeinfache Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung. Der Vortrag wendet sich an Mathematiker mit allgemeinen Kenntnissen über Hopfalgebren.

  55. Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über abelschen Gruppen (Yetter-Drinfel'd Hopf algebras over abelian groups)
    • Datum: Donnerstag, 15.3.2007
    • Ort: DePaul University, Chicago, USA
    • Zusammenfassung: Wenn man halbeinfache kokommutative Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren anstatt über Gruppen von Primzahlordnung über beliebigen abelschen Gruppen betrachtet, so ist der sogenannte Kern eines rein instabilen gruppenähnlichen Elementes im allgemeinen keine Gruppe mehr, sondern eine Yetter-Drinfel'd-Unterhopfalgebra, weil die Wirkung der abelschen Gruppe auf den Kern im allgemeinen nichttrivial ist. Wir stellen eine Konstruktion der Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren vor, die in der obigen Situation auftreten können. Der Vortrag wendet sich an Spezialisten auf dem Gebiet der halbeinfachen Hopfalgebren.

  56. Der Satz von Cauchy für Hopfalgebren (Cauchy's theorem for Hopf algebras)
    • Datum: Freitag, 23.3.2007
    • Ort: Universität von Südalabama, Mobile, USA
    • Zusammenfassung: Der Satz von Cauchy sagt, daß eine Gruppe für jede Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, ein Element dieser Primzahlordnung enthält. Da der Exponent der Gruppe das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Elemente ist, kann man diesen Sachverhalt auch ausdrücken indem man sagt, daß eine Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, auch den Exponenten teilt. Eine bis vor kurzem offene Vermutung von P. Etingof und S. Gelaki besagte, daß dieses Resultat, in dieser Formulierung, auch für halbeinfache Hopfalgebren gilt. Wir stellen in diesem Vortrag einen Beweis dieser Vermutung vor, der auf einer Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu beruht.

  57. Darstellungen der Modulgruppe via Hopfalgebren I
    (Modular group actions arising from Hopf algebras I)
    • Datum: Dienstag, 8.5.2007
    • Ort: Universität Cincinnati, Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: Wir erklären, wie die Modulgruppe auf das Zentrum des Drinfel'd-Doppels einer halbeinfachen Hopfalgebra wirkt.

  58. Darstellungen der Modulgruppe via Hopfalgebren II
    (Modular group actions arising from Hopf algebras II)
    • Datum: Dienstag, 22.5.2007
    • Ort: Universität Cincinnati, Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: Wir erklären, wie die Modulgruppe auf das Zentrum des Drinfel'd-Doppels einer halbeinfachen Hopfalgebra wirkt, und diskutieren in diesem Zusammenhang Frobenius-Schur-Indikatoren.

  59. Darstellungen der Modulgruppe via Hopfalgebren III
    (Modular group actions arising from Hopf algebras III)
    • Datum: Freitag, 1.6.2007
    • Ort: Universität Cincinnati, Cincinnati, USA
    • Zusammenfassung: Wir erklären den Orbitsatz und den Kongruenzuntergruppensatz.

  60. Hopfalgebren (Hopf algebras)
    • Datum: Freitag, 24.8.2007 - Freitag, 16.11.2007
    • Ort: Universität von Südalabama, Mobile, USA
    • Zusammenfassung: Im Rahmen des USA-Algebraseminars geben wir einen Einführungskurs über Hopfalgebren für Nichtspezialisten mit allgemeiner mathematischer Vorbildung.

  61. Die Kongruenzuntergruppeneigenschaft für Hopfalgebren
    (The congruence subgroup property for Hopf algebras)
    • Datum: Freitag, 7.12.2007
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Gewisse Klassen von Hopfalgebren führen einerseits zu Darstellungen der Zopfgruppe und andererseits zu Darstellungen der Modulgruppe. Wir zeigen, daß der Kern der Darstellung der Modulgruppe eine Kongruenzuntergruppe ist. Um das zu erreichen, führen wir eine Klasse verallgemeinerter Frobenius-Schur-Indikatoren ein und statten sie mit einer Wirkung der Modulgruppe aus, die mit der ursprünglichen kompatibel ist. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Zhu.

  62. Hopfalgebren und Kongruenzuntergruppen
    (Hopf algebras and congruence subgroups)
    • Datum: Montag, 22.6.2009 - Mittwoch, 24.6.2009
    • Ort: Universität Almeria, Spanien
    • Zusammenfassung: Eine halbeinfache Hopfalgebra führt auf eine Wirkung der Modulgruppe der ganzzahligen 2 mal 2-Matrizen mit Determinante 1 auf ihren Charakterring. Wie sich herausstellt ist der Kern dieser Darstellung eine Kongruenzuntergruppe, deren Stufe gleich dem Exponenten der Hopfalgebra ist. Dieser Satz ist das Analogon für Hopfalgebren eines Ergebnisses von P. Bantay in der konformen Feldtheorie, dessen mathematischer Beweis für geraume Zeit offen war. In dieser Vortragsreihe behandeln wir sowohl den Beweis als auch die Konsequenzen dieses Resultats. Zur Beweisführung benutzen wir als Hauptwerkzeug die sogenannten äquivarianten Frobenius-Schur-Indikatoren. Als Anwendungen leiten wir einige neuere Ergebnisse her, die klassische Resultate über Gaussche Summen auf Hopfalgebren verallgemeinern.

      Die Vorträge basieren auf einer mit Yongchang Zhu verfassten Arbeit und richten sich an Experten in der Theorie der Hopfalgebren.

  63. Über die zentrale Ladung einer ganzen modularen Kategorie (On the central charge of an integral modular category)
    • Datum: Freitag, 29.1.2010
    • Ort: DePaul University, Chicago, USA
    • Zusammenfassung: Ein Ergebnis von C. Vafa besagt, daß die zentrale Ladung einer modularen Kategorie rational ist. Wir zeigen, daß dieses Resultat beträchtlich verschärft werden kann, wenn die Dimensionen der einfachen Objekte ganzzahlig sind: In diesem Fall ist die zentrale Ladung selbst ganzzahlig. Ist die globale Dimension der Kategorie darüber hinaus ungerade, so ist die zentrale Ladung gerade.

      Diese Annahmen sind insbesondere für die Darstellungskategorie einer halbeinfachen faktorisierbaren Hopfalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Köper der Charakteristik Null erfüllt. Im Vortrag erklären wir insbesondere, was diese Resultate in diesem Spezialfall besagen. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Yongchang Zhu.

  64. Äquivariante Frobenius-Schur-Indikatoren (Equivariant Frobenius-Schur indicators)
    • Datum: Freitag, 19.2.2010
    • Ort: Texas A&M University, College Station, USA
    • Zusammenfassung: Um zu entscheiden, ob eine irreduzible komplexe Darstellung einer endlichen Gruppe, die einen reellwertigen Charakter hat, auch wirklich durch reellwertige Matrizen dargestellt werden kann, führten G. Frobenius und I. Schur einen gewissen Indikator ein, der die Summe über die Quadrate der Gruppenelemente involviert. Diese Indikatoren sind in verschiedenen Schritten verallgemeinert worden, von Quadraten zu höheren Potenzen und von dort zu Objekten, die von zwei Indizes abhängen, von denen einer diese höhere Potenz ist. Diese Objekte mit zwei Indizes sind äquivariant bezüglich einer kanonischen Wirkung der Modulgruppe und heißen daher äquivariante Frobenius-Schur-Indikatoren. Wie wir im Vortrag erklären kann man diese Indikatoren benutzen um zu zeigen, daß der Kern der Wirkung der Modulgruppe auf das Zentrum des Drinfel'd-Doppels einer halbeinfachen Hopfalgebra eine Kongruenzuntergruppe ist, deren Stufe der Exponent der Hopfalgebra ist. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Yongchang Zhu.

  65. Modulare Kategorien I (Modular Categories I)
    • Datum: Donnerstag, 27.5.2010
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Im ersten der beiden Vorträge diskutieren wir die Grundlagen der Theorie: Am Anfang erklären wir, was eine monoidale Kategorie ist und diskutieren die Begriffe Quasisymmetrie, Twist, und Dualität. Das Konzept der Dualität ermöglicht es, ein kategorielles Analogon der Spur einzuführen, und daher ein kategorielles Analogon der Dimension. Weiterhin erklären einen gewissen graphischen Kalkül, der ein sehr bequemes Hilfmittel für Berechnungen innerhalb quasisymmetrischer monoidaler Kategorien ist.

  66. Modulare Kategorien II (Modular Categories II)
    • Datum: Freitag, 28.5.2010
    • Ort: Hong Kong University of Science and Technology, Hongkong, China
    • Zusammenfassung: Mit Hilfe der im ersten Vortrag vorgestellten Strukturelemente kann man zwei Matrizen definieren, die sogenannte Verlinde-Matrix und die sogenannte Dehn-Matrix. Eine Kategorie heißt modular, wenn ihre Verlinde-Matrix invertierbar ist. In diesem Fall liefern diese beiden Matrizen eine Darstellung der Modulgruppe, was auch den Namen des Konzeptes erklärt. Wir leiten diese Tatsache im Detail her. Wir erklären ebenfalls kurz, wie modulare Kategorien aus Hopfalgebren oder Quasi-Hopfalgebren entstehen.