Department Mathematik
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Yorck Sommerhäuser

Konferenzvorträge:

  1. Workshop `Lie-Algebren und Quantengruppen'
    • Titel: Deformierte universelle Einhüllende
    • Ort: München
    • Datum: Freitag, 28.7.1995
    • Zusammenfassung: Wir konstruieren deformierte universelle Einhüllende aus den Teilen der Dreieckszerlegung durch die Konstruktion eines verallgemeinerten semidirekten Produktes. Das liefert eine alternative Beschreibung dieser Objekte, die nicht auf Erzeugenden und Relationen beruht.

  2. Ringtheorie-Konferenz
    • Titel: Hopfalgebren mit Dreieckszerlegung
    • Ort: Miskolc, Ungarn
    • Datum: Freitag, 19.7.1996
    • Zusammenfassung: Wir konstruieren halbeinfache Liealgebren und ihre Deformationen durch die Konstruktion eines verallgemeinerten semidirekten Produktes. Das liefert eine alternative Beschreibung dieser Objekte, die nicht auf Erzeugenden und Relationen beruht. Wir diskutieren damit zusammenhängende Resultate über die Moduln und die Integrale dieser Hopfalgebren.

  3. Konferenz `Interaction between Ring theory and Representations of Algebras'
    • Titel: Zu den Kaplansky-Vermutungen
    • Ort: Murcia, Spanien
    • Datum: Dienstag, 13.1.1998
    • Zusammenfassung: Im Jahre 1975 stellte I. Kaplansky wärend seiner Vorlesungen an der Universität von Chicago zehn Vermutungen über Hopfalgebren auf. Diese Vermutungen sind seither für zahlreiche Forscher in diesem Gebiet eine große Herausforderung gewesen. Die Hopfalgebrentheorie scheint nun in einem Entwicklungsstadium zu sein, das es ermöglicht, diesen Vermutungen näherzukommen; daher sind in jüngster Zeit mehrere Resultate in Bezug auf diese Vermutungen erzielt worden. In diesem Vortrag werden diese jüngsten Fortschritte besprochen, aber auch Beiträge zu Verallgemeinerungen sowie offene Probleme im Zusammenhang mit diesen Vermutungen.

  4. Konferenz `Hopf algebras and quantum groups'
    • Titel: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung
    • Ort: Brüssel, Belgien
    • Datum: Donnerstag, 18.6.1998
    • Zusammenfassung: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sind Hopfalgebren in einer quasisymmetrischen Kategorie, die der Baustein der Radfordschen Biprodukt-Konstruktion sind. Wir diskutieren kommutative halbeinfache Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung und wenden die Resultate auf das Klassifikationsproblem halbeinfacher Hopfalgebren an.

  5. International Conference on Algebra and its Applications
    • Titel: Strukturtheorie von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren
    • Ort: Athens, USA
    • Datum: Sonntag, 28.3.1999
    • Zusammenfassung: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sind Hopfalgebren in einer gewissen quasisymmetrischen Kategorie. Durch die Radfordsche Biprodukt-Konstruktion kann man mit ihrer Hilfe gewöhnliche Hopfalgebren gewinnen. In dem Vortrag betrachten wir Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung, die als Koalgebren kokommutativ und kohalbeinfach sind. Für diese Algebren umreißen wir den Beweis des folgenden Struktursatzes: Eine solche Algebra kann in ein Tensorprodukt zweier Gruppenringe zerlegt werden. Die Koalgebrenstruktur ist die gewöhnliche Tensorprodukt-Koalgebrenstruktur, wohingegen die Algebrenstruktur ein verschränktes Produkt ist. Dieser Struktursatz hat zahlreiche Anwendungen innerhalb des Klassifikationsprogramms für halbeinfache Hopfalgebren.

  6. Colloquium on quantum groups and Hopf algebras
    • Titel: Die Struktur von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung
    • Ort: Córdoba, Argentinien
    • Datum: Freitag, 13.8.1999
    • Zusammenfassung: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren sind Hopfalgebren in einer gewissen quasisymmetrischen Kategorie. Durch die Radfordsche Biprodukt-Konstruktion kann man mit ihrer Hilfe gewöhnliche Hopfalgebren gewinnen. In dem Vortrag betrachten wir Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über Gruppen von Primzahlordnung, die als Koalgebren kokommutativ und kohalbeinfach sind. Für diese Algebren umreißen wir den Beweis des folgenden Struktursatzes: Eine solche Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra kann in ein Tensorprodukt zweier Gruppenringe zerlegt werden, von denen einer der Gruppenring der zugehörigen Gruppe von Primzahlordnung ist. Die Koalgebrenstruktur ist die gewöhnliche Tensorprodukt-Koalgebrenstruktur, wohingegen die Algebrenstruktur ein verschränktes Produkt ist. Insbesondere ist die Dimension einer solchen Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebra durch die betrachtete Primzahl teilbar. Dieser Struktursatz hat zahlreiche Anwendungen innerhalb des Klassifikationsprogramms für halbeinfache Hopfalgebren.

  7. MSRI Workshop `Hopf algebras'
    • Titel: Über zentrale Charakterringe
    • Ort: Berkeley, USA
    • Datum: Montag, 25.10.1999
    • Zusammenfassung: Wir zeigen für eine halbeinfache Hopfalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null, daß die Dimensionen der einfachen Moduln die Dimension der Hopfalgebra teilen, falls der Charakterring der Hopfalgebra im Zentrum der dualen Hopfalgebra und der Charakterring der dualen Hopfalgebra im Zentrum der ursprünglichen Hopfalgebra liegt. Anschließend diskutieren wir mögliche Verallgemeinerungen dieses Resultats.

  8. Arbeitsgemeinschaft: Operaden und ihre Anwendungen
    • Titel: Vertexoperatoralgebren
    • Ort: Oberwolfach, Deutschland
    • Datum: Freitag, 13.10.2000
    • Zusammenfassung: Wir stellen die Arbeit von Y. Z. Huang über die geometrische Beschreibung von Vertexoperatoralgebren dar. Vertexoperatoralgebren werden über einen graduierten Vektorraum, den sog. Zustandsraum, definiert, und ein Abbildung, die sog. Feld-Zustands-Korrespondenz, von dem Zustandsraum in den Raum der Felder, die formale Distributionen mit Koeffizienten in der Endomorphismenalgebra des Zustandsraumes sind. Andererseits sind geometrische Vertexoperatoralgebren Abbildungen von der partiellen Operade der Modulräume punktierter Sphären in die partielle Endomorphismenoperade. Huangs Arbeit liefert eine eindeutige Korrespondenz zwischen diesen zwei Objekten, indem man Korrelationsfunktionen von Vertexoperatoralgebren betrachtet.

  9. Workshop: Groups, Rings, Lie and Hopf algebras
    • Titel: Das Drinfel'd-Doppel und die Modulgruppe
    • Ort: St. John's, Kanada
    • Datum: Dienstag, 29.5.2001
    • Zusammenfassung: Aus ähnlichen Überlegungen in der konformen Feldtheorie ergibt sich, daß es möglich ist, auf dem Zentralisator von H* im Drinfel'd-Doppel einer halbeinfachen Hopfalgebra H eine Wirkung der Modulgruppe SL(2,Z) zu konstruieren. Eine Konstruktionsmethode verwendet das Drinfel'd-Element und die kanonische Evaluationform. Wir erklären den Zusammenhang dieser Konstruktionsmethode mit anderen Konstruktionsmethoden und diskutieren einige Folgerungen.

  10. International Hopf Algebras Conference
    • Titel: Selbstduale Moduln halbeinfacher Hopfalgebren
    • Ort: Chicago, USA
    • Datum: Sonnabend, 2.2.2002
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, daß eine halbeinfache Hopfalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß. Das verallgemeinert ein klassisches Resultat von W. Burnside. Als Anwendung zeigen wir unter den gleichen Voraussetzungen, daß eine halbeinfache Hopfalgebra, die einen einfachen Modul gerader Dimension besitzt, selbst gerade Dimension haben muß. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsam mit
      Y. Kashina und Y. Zhu geschriebenen Arbeit.

  11. Hopf Algebras in Noncommutative Geometry and Physics
    • Titel: Selbstduale Moduln halbeinfacher Hopfalgebren
    • Ort: Brüssel, Belgien
    • Datum: Dienstag, 28.5.2002
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, daß eine halbeinfache Hopfalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß. Das verallgemeinert ein klassisches Resultat von W. Burnside. Als Anwendung zeigen wir unter den gleichen Voraussetzungen, daß eine halbeinfache Hopfalgebra, die einen einfachen Modul gerader Dimension besitzt, selbst gerade Dimension haben muß. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsam mit
      Y. Kashina und Y. Zhu geschriebenen Arbeit.

  12. AMS Spring Eastern Sectional Meeting: Special session on Hopf algebras and quantum groups
    • Titel: Höhere Frobenius-Schur-Indikatoren
    • Ort: New York, USA
    • Datum: Sonntag, 13.4.2003
    • Zusammenfassung: In einer endlichen Gruppe kann man einen irreduziblen Charakter auf der Summe der Potenzen der Gruppenelemente auswerten. Im Falle der Summe der Quadrate der Gruppenelemente wird die entstehende Zahl der Frobenius-Schur-Indikator des Charakters genannt; die höheren Potenzen fühen auf die höheren Frobenius-Schur-Indikatoren. Alle diese Begriffe kann man für Hopf-Algebren verallgemeinern. Wir stellen ein Analogon des Satzes von Frobenius und Schur für höhere Frobenius-Schur-Indikatoren vor. Weiterhin zeigen wir ein Teilbarkeits-Resultat, das den Satz verallgemeinert, daß eine halbeinfache Hopfalgebra, die einen nichttrivialen selbstdualen einfachen Modul besitzt, gerade Dimension haben muß.

  13. International Conference on Quantum Groups
    • Titel: Der Index eines Charakters
    • Ort: Haifa, Israel
    • Datum: Freitag, 9.7.2004
    • Zusammenfassung: In einer endlichen Gruppe ist der größte Wert, den ein Charakter auf einem Gruppenelement annehmen kann, der Grad des Charakters. Die Einträge der Charaktertafel, die denselben Absolutbetrag wie der Grad haben, stammen von zentralen Elementen des Quotienten, in dem die trivial wirkenden Elemente ausfaktorisiert sind. In dem Vortrag erklären wir, wie diese Korrespondenz auf den Fall halbeinfacher Hopfalgebren verallgemeinert werden kann. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu.

  14. AMS Spring Southeastern Sectional Meeting: Special session on Hopf algebras and related topics
    • Titel: Der Satz von Cauchy für Hopfalgebren
    • Ort: Bowling Green (Kentucky), USA
    • Datum: Samstag, 19.3.2005
    • Zusammenfassung: Der Satz von Cauchy sagt, daß eine endliche Gruppe für jede Primzahl, die die Gruppenordnung teilt, ein Element dieser Ordnung enthält. Da der Exponent einer Gruppe das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen der Gruppenelemente ist, kann man diese Aussage in der Weise umformulieren, daß eine Primzahlzahl, die die Gruppenordnung teilt, auch den Exponenten teilen muß. Wir zeigen, daß die Aussage in dieser Formulierung auch für halbeinfache Hopfalgebren gilt: Eine Primzahl, die die Dimension der halbeinfachen Hopfalgebra teilt, teilt auch ihren Exponenten. Dieses Resultat wurde bereits von P. Etingof und S. Gelaki vermutet. Im Fall der Primzahl 2 ist es bekannt.

  15. Second joint meeting of AMS, DMV, and ÖMG: Special session on Hopf algebras and quantum groups
    • Titel: Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren über abelschen Gruppen
    • Datum: Freitag, 17.6.2005
    • Ort: Mainz, Deutschland
    • Zusammenfassung: Wir besprechen aktuelle Fortschritte in der Strukturtheorie von Yetter-Drinfel'd-Hopfalgebren ber abelschen Gruppen.

  16. First Joint International Meeting between the AMS and the PTM: Special session on noncommutative geometry and quantum groups
    • Titel: Hopfalgebren, der Satz von Cauchy, und Frobenius-Schur-Indikatoren
    • Datum: Mittwoch, 1.8.2007
    • Ort: Warschau, Polen
    • Zusammenfassung: Im Jahr 1906 befassten sich F. G. Frobenius und I. Schur mit der Frage, wann eine irreduzible Matrixdarstellung einer endlichen Gruppe zu einer Matrixdarstellung konjugiert ist, in der alle Matrizen reell sind. Sie stellten fest, daß außer der Bedingung, daß der Charakter der Darstellung reellwertig ist, eine weitere Bedingung erfüllt sein muß, nämlich daß der nun so genannte Frobenius-Schur-Indikator gleich 1 sein muß. Dieser Indikator gehört eigentlich zu einer ganzen Familie von Zahlen, den sogenannten höheren Frobenius-Schur-Indikatoren. Wir erklären, wie sich dieses Konzept auf Hopfalgebren verallgemeinern läßt, und wie es dann benutzt werden kann, um eine Fassung des Satzes von Cauchy für Hopfalgebren zu beweisen.

  17. Noncommutative Geometry and Quantum Groups 2007
    • Titel: Anti-Yetter-Drinfel'd-Moduln
    • Datum: Freitag, 3.8.2007
    • Ort: Warschau, Polen
    • Zusammenfassung: Wir erklären, was Anti-Yetter-Drinfel'd-Moduln sind und wie sie sich von Yetter-Drinfel'd-Moduln unterscheiden. Dann erkläen wir den Begriff der Stabilität und besprechen die Anwendungen auf die zyklische Homologie.

  18. The Southern Regional Algebra Conference at the University of Louisiana at Lafayette
    • Titel: Der Exponent einer Hopfalgebra
    • Datum: Sonntag, 30.9.2007
    • Ort: Lafayette, USA
    • Zusammenfasssung: Eine Hopfalgebra ist eine Algebra, für die man das Tensorprodukt zweier Darstellungen bilden kann. Die Tatsache, daß man das Tensorprodukt zweier Gruppendarstellungen bilden kann, kann daher als Konsequenz einer Hopfalgebra-Struktur auf dem Gruppenring betrachtet werden. Gewisse Konzepte übertragen sich von Gruppen auf Hopfalgebren: Wir erklären, wie man den Exponenten einer Hopfalgebra definieren kann, und wie der Satz von Cauchy für Hopfalgebren lautet. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Kashina und Y. Zhu.

  19. AMS Fall Central Sectional Meeting: Special session on Hopf algebras and related areas
    • Titel: Frobenius-Schur-Indikatoren und ihre Verallgemeinerungen
    • Ort: Chicago, USA
    • Datum: Samstag, 6.10.2007
    • Zusammenfassung: Wir führen eine Klasse verallgemeinerter Frobenius-Schur-Indikatoren ein und diskutieren deren Anwendungen. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Zhu.

  20. First Joint International Meeting between the AMS and the NZMS: Special session on Hopf algebras and quantum groups
    • Titel: Hopfalgebren und Kongruenzuntergruppen
    • Datum: Samstag, 15.12.2007
    • Ort: Wellington, Neuseeland
    • Zusammenfassung: Wir zeigen, daß der Kern der natürlichen Wirkung der Modulgruppe auf das Zentrum des Drinfel'd-Doppels einer halbeinfachen Hopfalgebra eine Kongruenzuntergruppe ist. Dazu führen wir eine Klasse verallgemeinerter Frobenius-Schur-Indikatoren ein, die wir mit einer Wirkung der Modulgruppe ausstatten, die mit der ursprünglichen kompatibel ist. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Zhu.

  21. AMS Spring Southeastern Sectional Meeting: Special session on actions of quantum algebras
    • Titel: Die Kongruenzuntergruppeneigenschaft für faktorisierbare Hopfalgebren
    • Ort: Baton Rouge, USA
    • Datum: Sonntag, 30.3.2008
    • Zusammenfassung: Wir betrachten eine faktorisierbare halbeinfache Hopfalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null. Stimmen die Spur des Drinfel'd-Elementes und seines Inversen in der regulären Darstellung überein, so ist die Wirkung der Modulgruppe auf das Zentrum der Hopfalgebra nicht nur eine projektive, sondern sogar eine gewöhnliche lineare Darstellung. Wir zeigen, daß der Kern dieser linearen Darstellung eine Kongruenzuntergruppe der Stufe N ist, wobei N den Exponenten der Hopfalgebra bezeichnet. Zu diesem Zweck führen wir eine Verallgemeinerung des Jacobisymbols ein, das die Wirkung der Galoisgruppe zur Wirkung der Diagonalmatrizen in der reduzierten Modulgruppe in Beziehung setzt. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Zhu.

  22. AMS Spring Western Sectional Meeting: Special session on Hopf algebras and quantum groups
    • Titel: Das Hopfsymbol
    • Ort: Claremont, USA
    • Datum: Samstag, 3.5.2008
    • Zusammenfassung: Ein klassisches Resultat besagt, daß sich Gaußsche Summen unter der Wirkung der Galoisgruppe mit dem Jacobisymbol transformieren. In diesem Vortrag erklären wir, wie sich diese Tatsache auf halbeinfache faktorisierbare Hopfalgebren verallgemeinern läßt: Betrachtet man den Gruppenring einer zyklischen Gruppe als faktorisierbare Hopfalgebra, indem man ihn mit einer nichttrivialen R-Matrix versieht, so tritt die Gaußsche Summe als Spur des inversen Drinfel'd-Elementes in der regulären Darstellung auf. Es erweist sich nun, daß auch für allgemeinere faktorisierbare Hopfalgebren sich die Spur des inversen Drinfel'd-Elementes unter der Wirkung der Galoisgruppe ganz ähnlich transformiert, nämlich mit einer Verallgemeinerung des Jacobisymbols, die wir das Hopfsymbol nennen. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Zhu.

  23. First Canadian Hopf algebra conference: the role of Hopf algebras in Noncommutative Geometry
    • Titel: Frobenius-Schur-Indikatoren und Kongruenzuntergruppen
    • Ort: Fredericton, Kanada
    • Datum: Samstag, 6.9.2008
    • Zusammenfassung: In einer neueren gemeinsamen Arbeit mit Yongchang Zhu wurde gezeigt, daß der Kern der Wirkung der Modulgruppe auf das Zentrum einer halbeinfachen faktorisierbaren Hopfalgebra, die möglicherweise manchmal nur projektiv ist, eine Kongruenzuntergruppe ist, deren Stufe der Exponent der Hopfalgebra ist. Wir geben einen umfassenden Überblick über diese Arbeit.

  24. The Southern Regional Algebra Conference at the University of Colorado at Colorado Springs
    • Titel: Hopfalgebren, Frobenius-Schur-Indikatoren, und die Modulgruppe
    • Ort: Colorado Springs, USA
    • Datum: Sonntag, 28.9.2008
    • Zusammenfassung: Jede faktorisierbare Hopfalgebra führt zu einer projektiven Darstellung der Modulgruppe. Im halbeinfachen Fall erweist sich der Kern dieser Darstellung als Kongruenzuntergruppe, deren Stufe durch den Exponenten der Hopfalgebra bestimmt wird. Wir erklären, wie verallgemeinerte Frobenius-Schur-Indikatoren benutzt werden können, um dieses Resultat herzuleiten.

  25. Graduate Research Conference in Algebra and Representation Theory
    • Titel: Ein Überblick über die Theorie der Hopfalgebren
    • Ort: Manhattan, USA
    • Datum: Sonntag, 24.5.2009, und Montag, 25.5.2009
    • Zusammenfassung: Hopfalgebren sind Algebren, für die man das Tensorprodukt zweier Moduln bilden kann. Dafür ist ein neues Strukturelement erforderlich, das sogenannte Koprodukt. Die Theorie dieser Algebren hat im letzten Jahrzehnt bedeutende Fortschritte gemacht.

      Wir geben einen Überblick über die Theorie der Hopfalgebren, beginnend bei der Definition und endend mit einigen der neusten Entwicklungen. Wir werden durchgehend die Analogie zu Gruppen betonen; insbesondere werden wir sehen, was die Analoga der Sätze von Lagrange und Cauchy für Hopfalgebren sind.

  26. Colloquium on Hopf Algebras, Quantum Groups and Tensor Categories
    • Titel: Über die zentrale Ladung einer faktorisierbaren Hopfalgebra
    • Ort: Córdoba, Argentinien
    • Datum: Mittwoch, 2.9.2009
    • Zusammenfassung: Wir zeigen für eine halbeinfache faktorisierbare Hopfalgebra über einem Körper der Charakteristik Null, daß der Wert, den ein Integral auf dem inversen Drinfel'd-Element annimmt, sich von dem Wert, den es auf dem Drinfel'd-Element selbst annimmt, um höchstens eine vierte Einheitswurzel unterscheidet. Das bedeutet mit anderen Worten, daß die zentrale Ladung der Hopfalgebra eine ganze Zahl ist. Ist die Dimension der Hopfalgebra ungerade, so unterscheiden sich, wie wir zeigen, diese beiden Zahlen höchsten um ein Vorzeichen, was bedeutet, das die zentrale Ladung gerade ist. Wir geben durch eine Bedingung an die Dimension der Hopfalgebra genau an, wann das Pluszeichen und wann das Minuszeichen auftritt. Zur Formulierung dieser Ergebnisse benutzen wir die Sprache der modularen Daten. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Y. Zhu.

  27. The Southern Regional Algebra Conference at Auburn University-Montgomery
    • Titel: Hopfalgebren und Gaußsche Summen
    • Datum: Freitag, 26.3.2010
    • Ort: Montgomery, USA
    • Zusammenfasssung: Aus der R-Matrix einer halbeinfachen faktorisierbaren Hopfalgebra kann man das sogenannte Drinfel'd-Element berechnen. Nimmt man die Spur dieses Elementes in der regulären Darstellung, so erhält man eine gewisse Zahl. Wie wir im Vortrag erklären, hat diese Zahl große Ähnlichkeit mit der klassischen Gaußschen Summe, und ist für eine bestimmte Hopfalgebra sogar mit der Gaußschen Summe identisch. Der Vortrag basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Yongchang Zhu.