Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Sei C eine starre monoidale Kategorie.

(a) Sei A ∈ C eine Algebra. Zeigen Sie, daß für ein Objekt M ∈ C die Morphismen A⊗M → M, die eine A-Modulstruktur auf M induzieren, eindeutig zu Algebrahomomorphismen A → End(M) := M ⊗ M^{∗} korrespondieren.

(b) Sei C ∈ C eine Koalgebra. Zeigen Sie, daß für ein Objekt M ∈ C die Morphismen M → M ⊗ C, die eine C-Komodulstruktur auf M induzieren, eindeutig zu Koalgebrahomomorphismen Koend(M) := M^{∗} ⊗ M → C korrespondieren.

2. Finden Sie eine Kategorie C und darin ein Objekt, das ein Linksdual, aber kein Rechtsdual besitzt.

3. Bestimmen Sie die Objekte in der Kategorie der Kettenkomplexe, die ein Linksdual besitzen.

4. Zusatzaufgabe: Erklären Sie in der Kategorie der Kettenkomplexe ein Tensorprodukt, so daß diese Kategorie zu einer monoidalen Kategorie wird. (Hinweis: Verfahren Sie wie in Aufg. 1, Blatt 7. Überprüfen Sie nicht die Kohärenzdiagramme.) Zeigen Sie, daß die Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Kettenkomplexe und der Kategorie der B-Komoduln, die in der Zusatzaufgabe auf Blatt 7 konstruiert wurde, monoidal ist.

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 8.7.98, 16.15 Uhr