Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. V und W seien Vektorräume mit Basen v_{1}, …, v_{n} bzw. w_{1}, …, w_{m}. Definiere für i = 1, …, n, j = 1, …, m die lineare Abbildung

f_{ij} : V → W

durch die Bedingung

f_{ij}(v_{k}) = δ_{ik}w_{j}

für alle k = 1, …, n. Zeigen Sie, daß die Abbildungen f_{ij} eine Basis des Vektorraumes Hom(V, W) aller linearen Abbildungen von V nach W bilden. Leiten Sie daraus die Formel

dim Hom(V, W) = dim V dim W

her. (Hinweis: Die Vektorraumstruktur von Hom(V, W) wurde in Bemerkung (9.2) 6^{∘} erklärt. Man beachte, daß f_{ij} durch die obige Bedingung eindeutig festgelegt ist, weil es nach Bemerkung (9.2) 5^{∘} genügt, eine lineare Abbildung auf einer Basis anzugeben.) (6)

2. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Sei r := rg(f). Zeigen Sie, daß es Basen v_{1}, …, v_{n} von V bzw. w_{1}, …, w_{m} von W gibt, so daß für j = 1, …, r gilt:

f(v_{j}) = w_{j}

und für j = r + 1, …, n gilt:

f(v_{j}) = 0

(Hinweis: Gehen Sie wie im Beweis der Dimensionsformel in Satz (9.7) vor.) (6)

3. Seien f : V → W und g : W → U zwei lineare Abbildungen. Zeigen Sie, daß der Rang der Komposition g ∘ f weder größer als der Rang von f noch größer als der Rang von g werden kann. (4)

4. Wir betrachten den Vektorraum V der reellen Polynomfunktionen vom Grad höchstens n. Die aus der Schule bekannte Ableitung von Polynomen führt diesen Raum in sich über und definiert daher eine lineare Abbildung f : V → V.

(a) Zeigen Sie: dim V = n + 1

(b) Bestimmen Sie Ker(f) und Im(f).

(c) Erklären Sie, warum auch in diesem Fall die Dimensionsformel

dim Im(f) + dim Ker(f) = dim V

gilt.

(Hinweis: Eine reelle Polynomfunktion vom Grad höchstens n ist eine Abbildung der Form

p : ℝ → ℝ, x ↦ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + … + a_{n}x^{n}

mit gewissen reellen Zahlen a_{0}, …, a_{n}. Verwenden Sie ohne Beweis, daß V ein Unterraum des in Beispiel (5.2) 3^{∘} eingeführten Vektorraumes aller Abbildungen von ℝ nach ℝ ist.) (4)

Abgabe: Freitag, 21.1.2000, 9.10 Uhr.