Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. v_{1}, …, v_{n} sei eine Basis von V.

(a) Zeigen Sie, daß f genau dann injektiv ist, wenn f(v_{1}), …, f(v_{n}) linear unabhängig sind.

(b) Zeigen Sie, daß f genau dann surjektiv ist, wenn f(v_{1}), …, f(v_{n}) ein Erzeugendensystem von W ist. (6)

2. Seien V und W zwei Vektorräume und v_{1}, …, v_{n} Vektoren aus V, w_{1}, …, w_{n} Vektoren aus W.

(a) Zeigen Sie: Sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung f : V → W mit f(v_{j}) = w_{j} für alle j = 1, …, n.

(b) Zeigen Sie: Erzeugen v_{1}, …, v_{n} den Vektorraum V, so gibt es höchstens eine lineare Abbildung f : V → W mit f(v_{j}) = w_{j} für alle j = 1, …, n. (4)

3. (a) Konstruieren Sie einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f : V → V, die injektiv, aber nicht surjektiv ist.

(b) Konstruieren Sie einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f : V → V, die surjektiv, aber nicht injektiv ist.

(Hinweis: Für endlichdimensionale Vektorräume ist das nicht möglich. (Warum?) Betrachten Sie den Vektorraum ℝ^{(ℕ)} aller Folgen reeller Zahlen, die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen, also den Vektorraum der reellen Polynome. Denken Sie an Verschiebungen der Folgenglieder nach rechts oder links.) (6)

4. Definiere

f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (x/3 + 2y/3, x/3 + 2y/3)

(a) Zeigen Sie, daß f linear ist.

(b) Zeigen Sie, daß f ∘ f = f ist.

(c) Bestimmen Sie Kern und Bild von f. Zeichnen Sie Ker(f) und Im(f) in ein Koordinatenkreuz ein. Beschreiben Sie anhand dieses Bildes die Abbildung f. (4)

Abgabe: Freitag, 14.1.2000, 9.10 Uhr.