Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 7 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Betrachten Sie im ℝ^{3} die Menge

U := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | 2x_{1} − x_{2} + x_{3} = 0 und x_{2} + x_{3} = 0}

Begründen Sie, daß U ein Untervektorraum von ℝ^{3} ist und bestimmen Sie seine Dimension, indem Sie eine Basis von U angeben.

(Hinweis: Der Nachweis, daß U ein Untervektorraum ist, ist mit den Hilfsmitteln aus der Vorlesung recht kurz.) (3)

2. Seien a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ ℚ rationale Zahlen, die nicht alle Null sind. Zeigen Sie, daß

{(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℚ^{n} | a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + … + a_{n}x_{n} = 0}

ein n − 1-dimensionaler Untervektorraum von ℚ^{n} ist. (5)

3. Sei V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektorräume von V, so daß sich jeder Vektor v ∈ V auf eindeutige Weise als Summe

v = u + w

mit u ∈ U und w ∈ W darstellen läßt. Sei u_{1}, …, u_{m} eine Basis von U und w_{1}, …, w_{k} eine Basis von W. Zeigen Sie, daß

u_{1}, …, u_{m}, w_{1}, …, w_{k}

eine Basis von V ist. (7)

4. Die reellen Zahlen ℝ werden zu einem Vektorraum über den rationalen Zahlen ℚ, indem man reelle Zahlen wie gewöhnlich addiert und wie gewöhnlich reelle Zahlen mit rationalen multipliziert. Zeigen Sie, daß dieser Vektorraum unendlichdimensional ist.

(Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, daß ℚ abzählbar ist, ℝ aber nicht. Schlagen Sie diesen Sachverhalt ggf. in einem Lehrbuch nach.) (5)

Abgabe: Freitag, 7.1.2000, 9.10 Uhr.

Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr.