Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Zeigen Sie: Ein Vektorraum kann nicht Vereinigung von zwei echten Unterräumen sein. (3)

2. Zeigen Sie: Enthält der Grundkörper unendlich viele Elemente, so kann ein Vektorraum über diesem Körper nicht Vereinigung von endlich vielen echten Unterräumen sein.

(Hinweis: Man schließe durch Widerspruch: Ist V doch Vereinigung von endlichen vielen Unterräumen U_{1}, …, U_{n}, so kann man n so klein wie möglich wählen. In dieser Situation gibt es u_{1} ∈ U_{1} und u_{2} ∈ U_{2}, die jeweils in keinem anderen Unterraum liegen. (Warum?) Für n + 1 verschiedene Zahlen λ_{1}, …, λ_{n+1} ∈ K betrachte man die Vektoren u_{1} + λ_{1}u_{2}, …, u_{1} + λ_{n+1}u_{2}, von denen zwei in demselben Unterraum liegen müssen.) (7)

3. Seien v_{1}, …, v_{n} linear abhängige Vektoren in dem Vektorraum V über dem Körper K mit der Eigenschaft, daß je n − 1 von diesen Vektoren linear unabhängig sind. Seien

λ_{1}v_{1} + … + λ_{n}v_{n} = 0

und

μ_{1}v_{1} + … + μ_{n}v_{n} = 0

zwei Linearkombinationen, bei denen jeweils nicht alle Koeffizienten Null sind. Zeigen Sie, daß es eine Zahl λ ∈ K mit der Eigenschaft

μ_{j} = λλ_{j}

für alle j = 1, …, n gibt. (5)

4. Sei V ein Vektorraum. Zeigen Sie das sogenannte Austauschlemma: Ist v_{1}, …, v_{n} eine Basis von V und ist v ∈ V ein von Null verschiedener Vektor, so gibt es einen Vektor v_{i}, den man gegen v austauschen kann, d. h.

v_{1}, …, v_{i−1}, v, v_{i+1}, …, v_{n}

ist wieder eine Basis von V. (5)

Abgabe: Freitag, 17.12.99, 9.10 Uhr.