Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen:

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)  (4)

2. Sei M eine Menge und K ein Körper. In der Vorlesung wurde gezeigt, daß die Menge Abb(M, K) aller Abbildungen von M nach K mit den punktweisen Operationen ein Vektorraum ist. Zeigen Sie, daß die Teilmenge U derjenigen Abbildungen, die nur endlich viele Werte annehmen (d. h. deren Bild endlich ist), ein Untervektorraum von Abb(M, K) ist. (5)

3. Sei t eine reelle Zahl. Betrachten Sie im ℝ^{3} die Vektoren:

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ t \end{matrix} )

(a) Entscheiden Sie, für welche Werte von t die Vektoren v_{1}, v_{2} und v_{3} linear unabhängig sind.

(b) Entscheiden Sie, für welche Werte von t die Vektoren v_{1}, v_{2} und v_{3} den Vektorraum ℝ^{3} erzeugen.

(Hinweis: Für den ersten Aufgabenteil kann man Aufgabe 3 von Blatt 2 verwenden.) (6)

4. Sei K ein Körper. Wie in der Vorlesung sei K^{(ℕ)} die Menge derjenigen Folgen in K, die höchstens an endlich vielen Stellen nicht Null sind. Zeigen Sie, daß dieser Vektorraum kein endliches Erzeugendensystem besitzt. (5)

Abgabe: Freitag, 10.12.99, 9.10 Uhr.