Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Seien G und H zwei Gruppen. Wie in der Vorlesung definiert wurde, heißt eine Abbildung f : G → H ein Gruppenhomomorphismus, falls für alle g, g′ ∈ G gilt:

f(gg′) = f(g)f(g′)

Zeigen Sie, daß dann auch gilt:

(a) f(e) = e

(b) f(g^{−1}) = f(g)^{−1} für alle g ∈ G.

(Hinweis: Im ersten Teil bezeichnet das erste e das neutrale Element von G, das zweite e das neutrale Element von H. Die beiden neutralen Elemente werden also gleich bezeichnet, obwohl sie meistens verschieden sind. g^{−1} bezeichnet das inverse Element von g. Diese Aussagen wurden in der Vorlesung angegeben, aber nicht bewiesen.) (4)

2. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a) {g ∈ G | f(g) = e} ist eine Untergruppe von G.

(b) {h ∈ H | ∃g ∈ G : f(g) = h} ist eine Untergruppe von H.

(Hinweis: Die erste Untergruppe wird der Kern von f, die zweite das Bild von f genannt. Beachten Sie, daß Untergruppen nicht leer sein dürfen. Auch diese Aussagen wurden in der Vorlesung formuliert.) (5)

3. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, daß folgende Bedingungen an f äquivalent sind:

(a) {g ∈ G | f(g) = e} = {e}, d. h. der Kern von f besteht nur aus dem neutralen Element.

(b) f ist injektiv, d. h. zwei verschiedene Elemente von G werden durch f auf verschiedene Elemente von H abgebildet.

(5)

4. Sei ϕ ∈ ℝ eine reelle Zahl. Wir definieren eine Abbildung

D_{ϕ} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (cos(ϕ)x + sin(ϕ)y, − sin(ϕ)x + cos(ϕ)y)

Zeigen Sie:

(a) D_{ϕ} ist bijektiv.

(b) f : ℝ → Bij(ℝ^{2}), ϕ ↦ D_{ϕ} ist ein Gruppenhomomorphismus.

Entscheiden Sie, ob f injektiv ist. (Hinweis: Benutzen Sie die aus der Schule bekannten Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Beachten Sie, daß eine Rechnung in Aufgabenteil (b) benutzt werden kann, um eine Umkehrabbildung zu D_{ϕ} zu konstruieren. Überlegen Sie, wie eine solche Umkehrabbildung beim Nachweis der Bijektivität helfen kann. Begründen Sie alle Ihre Behauptungen und Entscheidungen.) (6)

Abgabe: Freitag, 26.11.99, 9.10 Uhr.