Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 13 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix

( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −2 \\ 1 & −1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{matrix} )

mit rationalen Einträgen. (4)

2. Betrachten Sie die Matrix

( \begin{matrix}a_{1}^{1} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} & ⋯ & a_{1}^{n} \\ a_{2}^{1} & a_{2}^{2} & ⋯ & a_{2}^{n−1} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ ⋮ & a_{n−1}^{2} & 0 & ⋯ & 0 \\ a_{n}^{1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} )

die unterhalb der Nebendiagonalen nur Nullen enthält. Zeigen Sie, daß die Determinante dieser Matrix gleich

(−1)^{k}a_{1}^{n} · a_{2}^{n−1} · . . . · a_{n−1}^{2} · a_{n}^{1}

ist, wobei k = \frac{n(n−1)}{2} ist. (6)

3. Eine quadratische Matrix A mit reellen Einträgen heißt orthogonal, falls A ^{t}A = E ist. Zeigen Sie, daß für die Determinante einer orthogonalen Matrix gilt: det(A) = ±1. (4)

4. Sei A = (a_{i}^{j})_{i,j=1,... ,n} eine n × n-Matrix vom Rang r > 0. Zeigen Sie, daß man die Zeilen und Spalten von A so vertauschen kann, daß die Determinante der r × r-Matrix A = (a_{i}^{j})_{i,j=1,... ,r} nicht Null ist. (Hinweis: Suchen Sie zunächst linear unabhängige Zeilen, und innerhalb dieser Zeilen dann nach linear unabhängigen Spalten.) (6)

Abgabe: Freitag, 18.2.2000, 9.10 Uhr.