Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 12 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. Betrachten Sie die folgende lineare Abbildung:

f : ℚ^{3} → ℚ^{2}, ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}2x_{1} − x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix} )

(a) Berechnen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Standardbasen von ℚ^{3} und ℚ^{2}.

(b) Berechnen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basis

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )

des Vektorraumes ℚ^{3} und der Basis

w_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , w_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) ,

des Vektorraumes ℚ^{2}. (Hinweis: Sie brauchen nicht zu zeigen, daß v_{1}, v_{2}, v_{3} und w_{1}, w_{2} tatsächlich Basen des ℚ^{3} bzw. des ℚ^{2} sind.) (4)

2. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. v_{1}, …, v_{n} und v′_{1}, …, v′_{n} seien zwei Basen von V, w_{1}, …, w_{m} und w′_{1}, …, w′_{m} seien zwei Basen von W. Sei A die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen v_{1}, …, v_{n} und w_{1}, …, w_{m}, B die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen v′_{1}, …, v′_{n} und w′_{1}, …, w′_{m}. Zeigen Sie, daß man die zweite darstellende Matrix aus der ersten berechnen kann, wenn man die Basiswechsel-Matrizen kennt:

B = S^{−1}AT

Dabei ist S die Matrix des Basiswechsels von der Basis w_{1}, …, w_{m} nach w′_{1}, …, w′_{m} und T die Matrix des Basiswechsels von v_{1}, …, v_{n} nach v′_{1}, …, v′_{n}. (Hinweis: Die Matrix des Basiswechsels wurde in Paragraph (12.2) definiert. Die obige Formel wird auch als Transformationsformel bezeichnet.) (6)

3. Berechnen Sie in der Situation von Aufgabe 1 die Basiswechsel-Matrizen von den Standardbasen auf v_{1}, v_{2}, v_{3} bzw. w_{1}, w_{2} und prüfen Sie die Transformationsformel explizit nach. (Hinweis: Dafür müssen Sie eine Basiswechsel-Matrix invertieren.) (4)

4. Sei M := {1, …, p}.

(a) Zeigen Sie, daß jede Permutation von M Produkt von Transpositionen ist.

(b) Zeigen Sie, daß jede Transposition Produkt einer ungeraden Anzahl von Nachbarvertauschungen ist.

(c) Schließen Sie, daß jede Permutation von M Produkt von Nachbarvertauschungen ist.

(Hinweis: Diese Aussagen wurden in Lemma (15.7) formuliert. Sie sollen sie hier noch einmal im Detail beweisen.) (6)

Abgabe: Freitag, 11.2.2000, 9.10 Uhr.