Mathematisches Institut WS 1999/2000 der Universität München Blatt 11 Prof. Dr. M. Schottenloher

MWB: Lineare Algebra für Wirtschaftsmathematiker

1. (a) Berechnen Sie die inverse Matrix der Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −2 & −1 & −1 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

(b) Erklären Sie, warum das lineare Gleichungssystem

x_{1} + x_{2} + x_{3} = b_{1}
−2x_{1} − x_{2} − x_{3} = b_{2}
x_{2} − x_{3} = b_{3}

für jede rechte Seite b_{1}, b_{2}, b_{3} genau eine Lösung hat, und geben Sie diese Lösung explizit an.

(Hinweis: Einen Algorithmus zum Invertieren von Matrizen findet man in dem Buch von Gerd Fischer, Lineare Algebra, Par. 2.7.4, S. 95,

8. Aufl., Vieweg, Braunschweig, 1984.) (4)

2. Betrachten Sie die reellen Matrizen

A := ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) B := ( \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

(a) Erklären Sie, warum A eine Drehung um die z-Achse mit Drehwinkel \frac{π}{2} (d. h. 90 Grad) und B eine Drehung um die y-Achse mit Drehwinkel \frac{π}{2} beschreibt.

(b) Zeigen Sie durch direkte Rechnung, daß A ∘ B ≠ B ∘ A. Erklären Sie diese Tatsache geometrisch, indem Sie einen Würfel in seiner ursprünglichen Lage und in seinen gedrehten Lagen zeichnen. (6)

3. V und W seien Vektorräume mit Basen v_{1}, …, v_{n} bzw. w_{1}, …, w_{m}. In Aufgabe 1 auf Blatt 9 wurde für i = 1, …, n, j = 1, …, m die lineare Abbildung

f_{ij} : V → W

durch die Bedingung

f_{ij}(v_{k}) = δ_{ik}w_{j}

für alle k = 1, …, n erklärt. Berechnen Sie die darstellenden Matrizen dieser Abbildungen bezüglich der Basen v_{1}, …, v_{n} und w_{1}, …, w_{m}. (4)

4. Betrachten Sie die allgemeine lineare Gruppe GL(2, 𝔽_{2}) über dem Körper 𝔽_{2} = {0, 1} mit zwei Elementen (vgl. Beispiel (4.5)).

(a) Geben Sie alle Elemente dieser Gruppe explizit an. Bestimmen Sie die Ordnung dieser Gruppe.

(b) Betrachten Sie die Menge M, die aus den folgenden drei Vektoren besteht:

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )  v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )  v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

Die Gruppe GL(2, 𝔽_{2}) führt M in sich über. (Warum?) Geben Sie für jedes Element von GL(2, 𝔽_{2}) in einer Tabelle an, wie es auf die

Vektoren aus M wirkt. (Beispiel: Die Matrix A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) führt

zu der Tabelle ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{2} & v_{1} & v_{3} \end{matrix} ).)

(c) Erklären Sie, warum die Abbildung, die jeder Matrix aus GL(2, 𝔽_{2}) die in der jeweiligen Tabelle angegebene Permutation zuordnet, ein Gruppenisomorphismus zwischen GL(2, 𝔽_{2}) und Bij(M) ist. (6)

Abgabe: Freitag, 4.2.2000, 9.10 Uhr.