Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 9 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

33. Gegeben sei die Matrix A = (\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×3}.

(a) Finden Sie unendlich viele Matrizen B ∈ ℝ^{3×2} mit AB = E_{2}.

(b) Zeigen Sie, daß es keine Matrix C ∈ ℝ^{3×2} mit CA = E_{3} gibt.

34. Gegeben sei die Matrix A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}. Finden Sie eine Formel

für A^{n} (n ≥ 1) und beweisen Sie diese durch Induktion.

35. (a) Sei p eine Primzahl, K = 𝔽_{p} und A = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & −1 \\ −2 & 0 & 2 \end{matrix}) ∈ K^{3×3}.

Für welche p ist A invertierbar?

(b) Bestimmen Sie die Inversen folgender Matrizen über ℝ:

(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 & −3 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

36. Sei A = (α_{ij}) ∈ K^{n×n} eine obere Dreiecksmatrix, in der auch die Elemente der Diagonale Null sind, also α_{ij} = 0 ist für alle i ≥ j. Zeigen Sie: Ist k ∈ {1, …, n} und A^{k} = (β_{ij}), so ist β_{ij} = 0 für alle i ≥ j + 1 − k. Insbesondere ist A^{n} = 0.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 20.1.2004, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.