Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 8 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

29. Seien im ℝ-Vektorraum V = ℝ^{3} die Unterräume

U_{1} = \{(\begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}) ∈ V | α_{1} + α_{2} + α_{3} = 0\}

U_{2} = ⟨(\begin{matrix}−2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ −1 \\ −3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ −6 \\ 8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 4 \\ −2 \end{matrix})⟩

gegeben, Geben Sie für jeden der Unterräume U_{1}, U_{2}, U_{1} + U_{2}, U_{1} ∩ U_{2} eine Basis an.

30. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien U_{1} und U_{2} Unterräume von V. Zeigen Sie:

(a) Ist U_{1} ⊂ U_{2}, so gibt es ein Komplement W_{1} von U_{1} in V und ein Komplement W_{2} von U_{2} in V mit der Eigenschaft W_{2} ⊂ W_{1}.

(b) Ist dim(U_{1}) = dim(U_{2}), so haben U_{1} und U_{2} ein ”gemeinsames“ Komplement in V, d. h. es gibt einen Unterraum W von V mit

V = U_{1} ⊕ W = U_{2} ⊕ W

31. (a) Über K = ℝ seien die Matrizen

A = (\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 1 & 8 & −7 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & −1 & 0 \end{matrix}) C = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 8 \\ −7 \end{matrix})

F = (−1 2 0 8) G = (\begin{matrix}1 & 4 \\ 0 & 5 \\ 6 & 8 \end{matrix})

gegeben. Berechnen Sie alle möglichen Produkte.

(b) Sei K ein Körper, n ≥ 2 und A = (α_{ij}) ∈ K^{n×n}. Welche Bedingungen müssen die α_{ij} erfüllen, damit AB = BA für alle B ∈ K^{n×n} gilt?

32. Sei V der ℝ-Vektorraum ℝ^{2×2} und U = \{(\begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix}) ∈ V | α, β ∈ ℝ\}.

Zeigen Sie:

(a) U ist ein 2-dimensionaler Unterraum von V mit Basis

E = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) I = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

(b) Mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen bildet U einen Körper. Es gilt I^{2} = −E.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 13.1.2004, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.

Das griechische Alphabet

alpha α A
beta β B
gamma γ Γ
delta δ Δ
epsilon ε E
zeta ζ Z
eta η H
theta ϑ Θ

jota  ι I
kappa κ K
lambda λ Λ
mü  μ M
nü  ν N
xi  ξ Ξ
omikron o O
pi  π Π

rho ρ P
sigma σ Σ
tau τ T
ypsilon υ Υ
phi φ Φ
chi χ X
psi ψ Ψ
omega ω Ω

Xαλεπὰ τ ὰ καλά