Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 7 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

25. Ergänzen Sie die Vektoren v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −4 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix}−3 \\ 8 \\ −4 \\ 6 \end{matrix}) durch geeig-

nete Einheitsvektoren zu einer Basis des ℝ-Vektorraumes V = ℝ^{4}.

26. Sei n ≥ 2 und V = K^{n×n} der K-Vektorraum aller n × n-Matrizen, U_{1} der Unterraum aller oberen, U_{2} der Unterraum aller unteren Dreiecksmatrizen. Berechnen Sie die Dimensionen von U_{1}, U_{2}, U_{1} + U_{2} und U_{1} ∩ U_{2}.

27. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension 11 und seien U_{1}, U_{2} Unterräume von V mit dim(U_{1}) = 3, dim(U_{2}) = 10. Zeigen Sie, daß dim(U_{1} ∩ U_{2}) entweder 2 oder 3 ist. Kann jeder der beiden Fälle vorkommen?

28. (a) Zeigen Sie: Ist V ein K-Vektorraum, in dem alle linear unabhängigen Teilmengen endlich sind, so gilt dim(V) < ∞.

(b) Geben Sie einen K-Vektorraum V mit einem echten Unterraum U ⫋ V an, so daß dim(U) = dim(V) ist.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 16.12.2003, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.