Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 6 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

21. Sei V ein K-Vektorraum und seien v_{1}, …, v_{n} ∈ V (n ≥ 2). Zeigen Sie: Genau dann sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, wenn

v_{1}, v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2} + v_{3}, …, v_{1} + v_{2} + v_{3} + … + v_{n}

linear unabhängig sind.

22. Seien im ℝ^{3} die Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix}) v_{2} = (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix}) v_{3} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) v_{4} = (\begin{matrix}3 \\ −1 \\ 6 \end{matrix})

gegeben und sei V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}⟩. Zeigen Sie, daß sich das Erzeugendensystem E = {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} zu genau fünf Basen von V verkleinern läßt.

23. Sei V ein ℝ-Vektorraum mit der Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}} (die b_{i} paarweise verschieden) und sei U der von den Vektoren

a_{1} = 2b_{1} − b_{2} a_{2} = b_{2} + b_{3} + b_{4} a_{3} = b_{3} − b_{4}

erzeugte Unterraum.

(a) Zeigen Sie, daß A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}} eine Basis von U ist.

(b) Ergänzen Sie die Menge A zu einer Basis von V.

24. Sei K ein Körper, M eine nichtleere Menge und V = Abb(M, K) der K-Vektorraum aller Abbildungen von M nach K. Für jedes f ∈ V heißt T (f) := {x ∈ M | f(x) ≠ 0} der Träger von f. Zeigen Sie:

(a) Die Teilmenge U = {f ∈ V | T (f) ist endlich} ist ein Unterraum von V.

(b) Definiert man für jedes x ∈ M die Abbildung e_{x} : M → K durch

e_{x}(y) = \begin{cases}1 : & falls y = x \\ 0 : & falls y ≠ x \end{cases}

so ist E = {e_{x} | x ∈ M} eine Basis von U.

Dieses Blatt wird nicht korrigiert, aber in den Übungsgruppen besprochen. Es soll daher auch nicht abgegeben werden.