Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 5 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

17. Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠ 0 und seien im K-Vektorraum V = K^{3} die Teilmengen

U_{1} = \{(\begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}) ∈ V | α_{3} = α_{1}+α_{2}\} U_{2} = \{(\begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}) ∈ V | α_{2} = α_{1}+α_{3}\}

gegeben. Zeigen Sie:

(a) U_{1} und U_{2} sind Unterräume von V.

(b) U_{1} + U_{2} = V, U_{1} ∩ U_{2} = ⟨(\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})⟩.

18. (a) Seien X, Y, Z Unterräume eines K-Vektorraumes V und sei X ⊂ Z. Zeigen Sie: (X + Y) ∩ Z = (X ∩ Z) + (Y ∩ Z).

(b) Gilt die Gleichheit in (a) auch dann, wenn X ⊄ Z ist?

19. Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des ℝ-Vektorraumes V = ℝ^{3} linear unabhängig sind:

(a) (\begin{matrix}7 \\ −4 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 1 \end{matrix}).

(b) (\begin{matrix}−2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}4 \\ 2 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}).

(c) (\begin{matrix}1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ t \\ 11 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ −4 \\ 0 \end{matrix}) (t ∈ ℝ).

20. Sei V ein K-Vektorraum und seien v_{1}, v_{2} ∈ V linear unabhängig. Zeigen Sie für α, β, γ, δ ∈ K: Genau dann sind αv_{1} + βv_{2} und γv_{1} + δv_{2} linear unabhängig, wenn αδ − βγ ≠ 0 ist.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 2.12.2003, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.