Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 4 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

13. (a) Entscheiden Sie für jede der folgenden Teilmengen A, B, C des ℝ-Vektorraumes V = ℝ^{2}, welche der drei Unterraum-Axiome erfüllt sind:

A = ∅ B = \{α (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) | α ∈ ℤ\} C = \{(\begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix}) ∈ V | α_{1}α_{2} ≥ 0\}

(b) Für welche t ∈ ℝ ist im ℝ-Vektorraum V = ℝ^{5} die Teilmenge

U = {(α_{1} ; ⋮ ; α_{5}) ∈ V | α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4} + α_{5} = t}

ein Unterraum?

(Hinweis: Bitte begründen Sie stets, also bei dieser und allen ähnlichen Aufgaben, Ihre Antwort.)

14. Gegeben sei im K-Vektorraum V = K^{2} die Teilmenge

U = \{(\begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix}) ∈ V | α_{1}^{2} − α_{2}^{2} = 0\}

Untersuchen Sie, ob U ein Unterraum von V ist für

(a) K = ℝ

(b) K = 𝔽_{2}

(c) K = 𝔽_{5}

(Hinweis: Bitte begründen Sie auch hier Ihre Antwort.)

15. Sei V = Abb(ℝ, ℝ) der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen von ℝ nach ℝ und

U_{1} := {f ∈ V | f(−x) = f(x) für alle x ∈ ℝ}
U_{2} := {f ∈ V | f(−x) = −f(x) für alle x ∈ ℝ}

Zeigen Sie:

(a) U_{1} und U_{2} sind Unterräume von V.

(b) U_{1} + U_{2} = V, U_{1} ∩ U_{2} = {0}.

16. Sei V ein K-Vektorraum und seien U_{1}, U_{2} Unterräume von V. Zeigen Sie: Ist U_{1} ∪ U_{2} ein Unterraum von V, so folgt U_{1} ⊂ U_{2} oder U_{2} ⊂ U_{1}.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 25.11.2003, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an. Die erste Klausur findet am Samstag, den 13.12.2003, um 10.15 Uhr statt, und zwar in den folgenden Räumen:

1. Gruppen A und B: E 51

2. Gruppen D und E: 122

3. Gruppen C und F: E 52

4. Gruppen G und H: 138