Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 3 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

9. Sei f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) Für jede Teilmenge A ⊂ M gilt A ⊂ f^{−1}(f(A)). Ist f injektiv, gilt sogar A = f^{−1}(f(A)).

(b) Für jede Teilmenge B ⊂ N gilt f(f^{−1}(B)) ⊂ B. Ist f surjektiv,

gilt sogar f(f^{−1}(B)) = B.

10. (a) Lösen Sie in 𝔽_{11} die Gleichungen

6x = 2, 2x + 4 = 9, 3x − 9 = 5, 7x = 1.

(b) Sei p eine Primzahl ≥ 3. Bestimmen Sie in 𝔽_{p} das Inverse von p−1

und von p − 2.

11. Sei K ein endlicher Körper mit n Elementen.

(a) Zeigen Sie für jedes α ∈ K, daß nα = 0 ist. (Hinweis: In K = {x_{1}, …, x_{n}} betrachte man die Summe ∑_{i=1}^{n}(α + x_{i}).)

(b) Zeigen Sie für jedes α ∈ K \ {0}, daß α^{n−1} = 1 ist.

12. Gegeben seien im ℝ-Vektorraum V = ℝ^{3} die beiden Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix}) , v_{2} = (\begin{matrix}6 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

Welche der folgenden Vektoren sind Linearkombinationen von v_{1} und v_{2}?

(\begin{matrix}9 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) , (\begin{matrix}4 \\ −1 \\ 8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 4 \\ −4 \end{matrix})

Übungsgruppen:

1. A: Mi 11.15, 132, Leitung: Christoph Thies

2. B: Mi 11.15, E 41, Leitung: Alexander Stadelmaier

3. C: Mi 14.15, E 39, Leitung: Thomas Kemmann

4. D: Do 11.15, E 46, Leitung: Alexander Stadelmaier

5. E: Do 11.15, E 40, Leitung: Andreas Hoffmann

6. F: Do 16.15, 132, Leitung: Thomas Kemmann

7. G: Fr 9.15, E 40, Leitung: Dominik Schlenker

8. H: Fr 11.15, E 40, Leitung: Aron Gohr

Sprechstunde von Martin Frank: Mo 11.00, Café Gumbel

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 18.11.2003, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.