Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 2 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

5. Zeigen Sie, daß die Abbildung

f : ℤ × ℤ → ℤ × ℤ, (x, y) ↦ (2x + 3y, 3x + 4y)

bijektiv ist, und bestimmen Sie die Umkehrabbildung g.

6. Sei f : M → N eine Abbildung und seien A_{1}, A_{2} Teilmengen von M sowie B_{1}, B_{2} Teilmengen von N. Zeigen Sie:

(a) f(A_{1} ∪ A_{2}) = f(A_{1}) ∪ f(A_{2}) f(A_{1} ∩ A_{2}) ⊂ f(A_{1}) ∩ f(A_{2})

(b) f^{−1}(B_{1} ∪ B_{2}) = f^{−1}(B_{1}) ∪ f^{−1}(B_{2}) f^{−1}(B_{1} ∩ B_{2}) = f^{−1}(B_{1}) ∩ f^{−1}(B_{2})

7. (a) Sei K ein Körper. Folgern Sie allein aus den Körperaxiomen, daß für alle α ∈ K \ {0} das in (M 4) geforderte Element α^{∗} eindeutig durch α bestimmt ist.

(b) Sei K ein Körper und α, β, γ, δ ∈ K mit β ≠ 0, δ ≠ 0. Zeigen Sie:

\frac{α}{β} + \frac{γ}{δ} = \frac{αδ + βγ}{βδ}

8. (a) Zeigen Sie, daß jede komplexe Zahl ein Quadrat ist, d. h. zu jedem

z ∈ ℂ ein w ∈ ℂ mit z = w^{2} existiert.

(b) Bestimmen Sie für die Primzahlen p = 3, 5, 7 im Körper 𝔽_{p} alle Elemente, die ein Quadrat sind.

(c) Sei K ein endlicher Körper, in dem jedes Element ein Quadrat ist. Zeigen Sie, daß dann 1 + 1 = 0 in K ist.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 11.11.2003, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.

Literatur: 1. A. Beutelspacher: Lineare Algebra, Vieweg, 2003

2. E. Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie I, II, Vieweg, 1985

3. P. M. Cohn: Algebra I, Wiley, 1988

4. G. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, 2002

5. K. Jänich: Lineare Algebra, Springer, 2002

6. M. Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer, 1997 7. H.-J. Kowalsky, G. O. Michler: Lineare Algebra, de Gruyter, 1995 8. F. Lorenz: Lineare Algebra I, II, B. I.-Wissenschaftsverlag, 1992