Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 12 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

45. (a) Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

f_{1} : ℝ^{3} → ℝ^{2}, (\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}5λ_{1} − λ_{2} + λ_{3} \\ λ_{3} − λ_{1} \end{matrix})

f_{2} : ℝ^{3} → ℝ, (\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ \sqrt{λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2}}

f_{3} : K^{n×n} → K^{n×n}, A ↦ AB − BA

wobei K ein Körper und B ∈ K^{n×n} eine fest vorgegebene Matrix ist.

(b) Zeigen Sie, daß die Abbildung

f : ℝ^{4} → ℝ^{4}

(\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \\ λ_{4} \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}λ_{1} + 2λ_{2} + λ_{3} \\ −2λ_{1} + 2λ_{4} \\ λ_{3} + λ_{4} \\ λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} \end{matrix})

linear ist, bestimmen Sie die zugehörige Matrix A ∈ ℝ^{4×4} sowie eine Basis von Kern(f) und Bild(f).

46. Sei f : V → W eine lineare Abbildung und b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V. Zeigen Sie:

(a) Genau dann ist f ein Monomorphismus, wenn f(b_{1}), …, f(b_{n}) linear unabhängig sind.

(b) Genau dann ist f ein Epimorphismus, wenn f(b_{1}), …, f(b_{n}) ein Erzeugendensystem von W bilden.

47. Sei V ein K-Vektorraum und f ∈ End(V).

(a) Zeigen Sie, daß Fix(f) = {v ∈ V | f(v) = v} ein Unterraum von V ist.

(b) Bestimmen Sie für die lineare Abbildung

f : ℝ^{3} → ℝ^{3}
(\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}λ_{1} + 2λ_{2} + 2λ_{3} \\ λ_{2} \\ 3λ_{1} + λ_{3} \end{matrix})

eine Basis von Fix(f).

48. (a) Sei K ein Körper und V = Abb(ℕ, K) der K-Vektorraum aller Folgen in K. Geben Sie zwei Endomorphismen f, g ∈ End(V) an, so daß f ∘ g = id_{V} ist, aber g ∘ f ≠ id_{V}.

(b) Sei R ein Ring mit zwei Elementen x und y, so daß 1 − xy invertierbar ist. Zeigen Sie, daß dann auch 1 − yx invertierbar ist.

49. (a) Sei V ein K-Vektorraum, v ∈ V, f ∈ End(V) und n ≥ 1 mit f^{n+1}(v) = 0, f^{n}(v) ≠ 0. Zeigen Sie, daß die Vektoren

v, f(v), f^{2}(v), …, f^{n}(v)

linear unabhängig sind.

(b) Ist eine n × n-Matrix nilpotent, so gilt bereits A^{n} = 0.

50. Sei dim(V) = n, U ein Unterraum von V mit {0} ≠ U ⫋ V und b_{1}, …, b_{m} eine Basis von U. Zeigen Sie: Ergänzt man die b_{i} zu einer Basis b_{1}, …, b_{n} von V, so ist

b_{m+1} + U, …, b_{n} + U

eine Basis des Faktorraumes V/U.

Schöne Semesterferien und auf Wiedersehen im Sommersemester!