Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 11 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

41. Für zwei Matrizen A ∈ K^{m×n}, B ∈ K^{n×p} gilt:

Rang(AB) ≤ min{Rang(A), Rang(B)}

42. Für eine Matrix A ∈ K^{m×n} gilt: Genau dann ist Rang(A) = 1, wenn es eine Spalte 0 ≠ b ∈ K^{m×1} und eine Zeile 0 ≠ c ∈ K^{1×n} gibt mit A = bc.

43. Untersuchen Sie, für welche t ∈ ℝ folgendes Gleichungssystem über ℝ lösbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls alle Lösungen.

2x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4} + 3x_{5} − x_{6} = t
x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4}  + 3x_{6} = 1
x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4} + 2x_{5} − x_{6} = 1
x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + 2x_{4} + x_{5}  = 1
3x_{1} + 8x_{2} + 7x_{3} + 9x_{4} + 4x_{5} + 3x_{6} = 0

44. Gegeben seien im ℝ^{3} die Gerade L_{1} = (\begin{matrix}−1 \\ −3 \\ 0 \end{matrix}) + ⟨(\begin{matrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})⟩ und die Ebene

L_{2} = (\begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + ⟨(\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})⟩. Beschreiben Sie jede dieser affinen

Teilmengen des ℝ^{3} als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems und bestimmen Sie damit L_{1} ∩ L_{2}.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 3.2.2004, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrem Übungsblatt Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Übungsgruppe an. Soweit noch nicht geschehen, geben Sie bitte auch Ihr Geburtsdatum, Ihren Geburtsort und Ihren Wohnort an. Diese Angaben werden zum Erstellen der Übungsscheine benötigt.