Mathematisches Institut WS 2003/2004 der Universität München Blatt 10 H. Zöschinger

Übungen zu MIB: Lineare Algebra

37. Sei A = (α_{ij}) ∈ K^{n×n} eine obere Dreiecksmatrix, das heißt a_{ij} = 0 für alle i > j. Zeigen Sie: Genau dann ist A invertierbar, wenn alle Diagonalelemente a_{ii} ≠ 0 sind.

38. Bestimmen Sie für n ≥ 1 den Rang der Matrix

(\begin{matrix}1 & 2 & … & n \\ 2 & 3 & … & n + 1 \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ n & n + 1 & … & 2n − 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{n×n}.

39. Gegeben seien im ℝ^{4} die fünf Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) v_{2} = (\begin{matrix}2 \\ −5 \\ −3 \\ 6 \end{matrix}) v_{3} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) v_{4} = (\begin{matrix}2 \\ −1 \\ 4 \\ −7 \end{matrix}) v_{5} = (\begin{matrix}5 \\ −8 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Wählen Sie aus diesen Vektoren eine Basis für V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}⟩ aus und stellen Sie die restlichen Vektoren als Linearkombination aus diesen Basisvektoren dar.

40. Seien A, B ∈ K^{m×n}. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Ist Rang(A) = Rang(B), so gibt es invertierbare Matrizen P ∈ K^{m×m} und Q ∈ K^{n×n} mit P AQ = B.

(b) Ist Rang(A) = Rang(B), so folgt A ∼ B.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 27.1.2004, 14.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Bitte geben Sie auf Ihrem Übungsblatt Ihren Namen, Ihren Vornamen, Ihr Geburtsdatum, Ihren Geburtsort, Ihren Wohnort und Ihre Übungsgruppe in Druckbuchstaben an. Diese Angaben werden zum Erstellen der Übungsscheine benötigt. Die zweite Klausur findet am Samstag, den 31.1.2004, um 10.15 Uhr statt, und zwar in den folgenden Räumen:

1. Gruppen A und B: E 51

2. Gruppen D und E: 122

3. Gruppen C und F: E 52

4. Gruppen G und H: 138